- •Вопрос № 1 Понятие матрицы. Виды матриц
- •Вопрос № 2 Сложение матриц. Умножение матрицы на число
- •Вопрос № 3 Произведение матриц
- •Вопрос № 5 Определители матриц. Свойства определителей
- •Вопрос № 18
- •Вопрос № 12-(33) Замечательные пределы.
- •Вопрос № 14-(34) Односторонние и двусторонние пределы функции. Точки разрыва и их классификации
- •Вопрос № 9
- •Сравнение бесконечно малых величин. Бесконечно большая величина. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей типа 0/0, бесконечность/ бесконечность
- •Вопрос № 7
- •Вопрос № 10 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •Вопрос № 8 Матрица, обратной данной и ее вычисление
- •Вопрос № 20-(40) Производные высших порядков Механистический смысл 2ой производной
- •Вопрос № 19-(39) Производные сложной и обратной функции
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Вопрос № 22-(42) Теорема Роля, Коши, Лангранжа о дифференцируемых функциях
- •Билет № 17-(37) Правило дифференцирования. Таблица производных
- •Вопрос № 16-(36)
- •Вопрос № 15-(35)
- •Геометрический смысл производной
- •Механический смысл производной
- •Вопрос № 10-(43)
- •Вопрос № 8-(44) Экстремум функции и критические точки. Необходимое экстемума фукции
- •Вопрос № 7-(43)
- •Вопрос № 6-(46) Асимптомы графика функции. Общая схема исследования функции и построение графиков
- •Вопрос № 20 Параллельный перенос и поворот осей координат
- •Вопрос № 21 Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Вопрос № 23 Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
- •Вопрос № 1-(24) Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых
- •Вопрос № 11 Методом Крамера
- •Вопрос № 13 Понятие вектора. Операции над векторами в геометрической форме
- •Вопрос № 14 Проекции вектора на ось и ее свойства
- •Вопрос № 15 Разложение вектора по ортам координатных осей
- •Вопрос № 14-(32) Теоремы о непрерывных функциях.
- •Вопрос № 11-(30) Бесконечно малые величины (функции). Теоремы о бесконечно малых величинах
- •Вопрос № 10-(29) Понятие последовательности и ее предела. Предел функции. Теоремы о пределах
- •Уравнение параболы и исследование ее формы
- •Вопрос № 5-(27) Уравнение гиперболы и исследование ее формы. Эксцентриситет и ассимптоматы гиперболы
- •Вопрос № 4-(25)
Вопрос № 15 Разложение вектора по ортам координатных осей
Разложение вектора по координатным осям.
Пусть вектор задан своими проекциями на оси координат Ox, Oy, Oz. Выберем на оси Ox вектор = (1,0,0), на оси Oy - вектор = (0,1,0), на оси Oz - вектор = (0,0,1) . Они взаимно-перпендикулярны и имеют единичную длину . Векторы , и называют ортами координатных осей .
Вектор лежит на оси Ox и его длина равна x , поэтому Аналогично Сумма этих векторов дает вектор :
Это выражение называется формулой разложения вектора по ортам координатных осей. Используя эту формулу , нетрудно получить :
Вопрос № 14-(32) Теоремы о непрерывных функциях.
Первая теорема Больцано-Коши.Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает разные по знаку значения.Тогда существует такая точка с принадлежащая [а,b] в которой f(c)=0.
Вторая теорема Больцано-Коши. Пустьf(x) определена и непрерывна на отрезке <a,b> и . Тогда m<C<M сО<a,b> f(c)=C.
Примечание. Символ < означает любой из двух символов – ( или [, а символ > - любой из двух символов - ) или ]. Таким образом, отрезок <a, b> означает любой из следующих отрезков – [a,b], (a,b], [a,b), или (a,b).
Первая теорема Вейерштрасса.
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b]. Тогда она ограничена на этом отрезке, т.е. существуют такие числа m и M, что x принадлежащего [a,b] f(x) больше либо равно m и меньше либо равно M.
Вторая теорема Вейерштрасса.
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке[a,b]. Тогда существуют такие точки x1, x2 принадлежащие [a,b], что , т.е. инфимум и супремум f(x) достигаются на [a,b].
Вопрос № 11-(30) Бесконечно малые величины (функции). Теоремы о бесконечно малых величинах
Функция α (x) называется бесконечно малой при , если
Теоремы о бесконечно малых
Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
Если an — бесконечно малая последовательность, то — бесконечно большая последовательность.
Вопрос № 10-(29) Понятие последовательности и ее предела. Предел функции. Теоремы о пределах
Постоянное число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения xn, у которых n>N, удовлетворяют неравенству |xn - a| < e.
Записывают это следующим образом: или xn→ a.
Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству
a- e < xn < a + e, (6.2)
которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-e, a+e), т.е. попадают в какую угодно малую e-окрестность точки а.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.
Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x0 если для всех значений x, достаточно близких к x0, значение f(x) близко к A.
Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.
Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:
Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.
Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если то
Теорема 5. Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0.
Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥c.
ВОПРОС № 9-(28)