Уравнение параболы и исследование ее формы

Пара́бола— геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус называется осью параболы. Это прямая является (единственной) осью симметрии параболы.

Вопрос № 5-(27) Уравнение гиперболы и исследование ее формы. Эксцентриситет и ассимптоматы гиперболы

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называеых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению и обозначается через2а. Фокусы гиперболы обозначают буквами и , расстояние между ними - через 2с. По определению гиперболы , или .

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось. С учетом того, что с2 – а2 = b2: Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Аси́мпто́та— прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность.Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед.

ВОПРОС № 3-(26)

Уравнение эллипса и исследование его формы. Эксцентриситет эллипса

Эллипсом ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F1 и F2 , называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

Уравнение эллипса ( рис.1 ) :

Здесь начало координат является центром симметрии эллипса, а оси координат – его осями симметрии. При a > b фокусы эллипса лежат на оси ОХ ( рис.1 ) , при a < b фокусы эллипса лежат на оси ОY , а при a = b эллипс становится окружностью ( фокусы эллипса в этом случае совпадают с центром окружности ). Таким образом, окружность есть частный случай эллипса.

Отрезок F1F2 = 2 с , где , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется большой осью эллипса, а отрезок CD = 2 b – малой осью эллипса. Число e = c / a , e < 1 называется эксцентриситетом эллипса.

Пусть Р ( х1 , у 1 ) – точка эллипса, тогда уравнение касательной к эллипсу в данной точке имеет вид:

Условие касания прямой y = m x + k и эллипса х 2 / a 2 + у 2 / b 2 = 1 : k 2 = m 2 a 2 + b 2 .

Вопрос № 4-(25)

Линии второго порядка, плоские линии, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени

a11x2 + a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a11 = 0. (*)

Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую Линии второго порядка В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на некоторый угол к одному из 9 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс линий. Именно,

нераспадающиеся линии:

— эллипсы,

— гиперболы,

y2 = 2px — параболы,

— мнимые эллипсы;

распадающиеся линии:

— пары пересекающихся прямых,

— пары мнимых пересекающихся прямых,

x2 - а2 = 0 — пары параллельных прямых,

x2 + а2 = 0 — пары мнимых параллельных прямых,

x2 = 0 — пары совпадающих параллельных прямых.

Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.

ВОПРОС № 19

Расстояние между двумя точками на плоскости расчитывается по следующей формуле:

где x1 и y1 координаты первой точки, а x2 и y2 координаты второй точки.

Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве расчитывается по следующей формуле:

где x1, y1 и z1 координаты первой точки, а x2, y2 и z2 координаты второй точки.

ВОПРОС № 16

Действия над векторами, заданными проекциями

Пусть векторы а=(ax; ay; az) и b=( bx; by; bz) заданы своими проекциями на оси координат Ox,Oy,Oz или, что то же самое

а = ах •i + ау • j +аz • k, b =bх • i + bу • j + bz • k.

Линейные операции над векторами

Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать:

1. а ± b = (ах±bх)i + (ау±by)j + ( az± bz)k, или кратко а ± b = (ах ±bx; ay± by; az ± bz). To есть при сложении (вычитании) векторових одноименные координаты складываются (вычитаются).

2. l а = l ах • i + l ау • j + l az • k или короче l а = (lах; lау; lаz). То есть при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.

Равенство векторов

Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора а и b равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства: aх= bх; ау=by; az= bz ,т. е.

Коллинеарность векторов

Выясним условия коллинеарности векторов а и b, заданных своими координатами.

Так как а || b, то можно записать а = l • b, где l-некоторое число. То есть

Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.

Координаты точки

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz. Для любой точки М координаты вектора ОМназываются координатами точки М. ВекторОМназывается радиус-вектором точки

М, обозначается r , т. е. ОМ= r . Следовательно, координаты точки — это координаты ее радиус-вектора

Координаты точки М записываются в виде М(х; у; z ).

Координаты вектораНайдем координаты вектора а = АВ, если известны координаты точек A( x1; y1; z1) и В( x2;у2; z2). Имеем (см. рис. 13):

AB=OB-OA=(x2i+y2j+z2k)-(x1i+y1j+z1k)=(x2 - x1)i+(y2 - y1)j+(z2 - z1)k

Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала: АВ = (х2-х1;у2-у1; z2- z1).