§ 2. Электронный газ в модели бесконечно глубокой трехмерной потенциальной ямы

Перейдем к описанию электронов в модели трехмерной потенциальной ямы. В первом приближении ее можно считать бесконечно глубокой. Пусть образец имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами Δx , Δy, Δz.

В трехмерном случае фазовое m-пространство для  частицы - это шестимерное пространство, по осям которого откладываются три координаты x, y, z и три компоненты импульса p_x, p_y, p_z частицы. Объем фазового пространства кубической формы , здесь ΔV - обычный пространственный объем области, в которой находится частица. Объем элементарной фазовой ячейки в трехмерном случае можно найти из соображений, аналогичных тем, что были изложены выше для одномерного случая. В результате получим, что

Для числа состояний ΔZ в трехмерном случае имеем:

Теперь определим энергию Ферми в трехмерной яме. Как и в одномерном случае  энергия Ферми E_F(0) - это энергия электронов на высшем еще заполненном уровне при T = 0. При T = 0 в соответствии с принципом Паули (лекция N 9, § 1) каждое квантовое состояние с E < E_F(0) будет занято одним из общего числа N электронов.  Значит, для нахождения E_F(0), нам надо найти зависимость числа состояний ΔZ от энергии E, затем приравнять число состояний с энергией E ≤ E_F(0) числу частиц и выразить из этого равенства E_F(0). Реализуем последовательно эту программу.

Число состояний ΔZ в фазовом объеме ΔГ определяется формулой (10.5).

Фазовый объем ΔГ состояний с импульсом p < p_F(0) определим из следующих соображений.

Так как полная энергия E электронов внутри потенциальной ямы равна кинетической, то

Значит состояния с E ≤ E_F(0) - это состояния, у которых модуль импульса электронов лежит в пределах от нуля до В подпространстве импульсов этим состояниям соответствует сфера радиусом p_F(0). Умножив "объем" этой сферы  на объем ямы V получим интересующий нас объем фазового пространстве ΔГ, т.е.

         (10.6)

Из (10.5) и (10.6) получим число состояний ΔZ(p) с учетом спина:

Выразим  p_F(0) через E_F(0). Т.к. , то

откуда для числа состояний ΔZ(E) с энергией меньше, чем E_F(0):

         (10.7)

В дальнейшем нам потребуется выражение для числа состояний на единичный энергетический интервал - плотность состояний g(E).

Очевидно, что

         (10.8)

Продифференцировав по Е_F формулу (10.7), получим

Здесь мы заменили Е_F на Е,

Приравняв ΔZ(E_F) (10.7) числу электронов в яме N, получим

Выразим отсюда E_F(0):

здесь  - концентрация электронов.

Выразив h через , получим окончательную формулу для E_F(0) - энергии Ферми для электронного газа в трехмерной потенциальной яме:

Температурой Ферми T_F - называют отношение энергии Ферми E_F(0) к постоянной Больцмана k, т.е.

Оценим энергию Ферми  E_F(0) и температуру ФермиT_F.

Концентрация свободных электронов в металле порядка 10²⁸÷10²⁹ м^-3. Для n = 5·10²⁸ м^-3 из (10.8) получим:

Для T_F из (10.9) получим:

Итоги лекции n 10

1. Поведение валентных электронов в металлах можно объяснить на основе модели потенциальной ямы. При низких температурах, когда тепловое движение не способно удалить электроны из металла, потенциальную яму можно читать бесконечно глубокой.

2. При Т = 0 учет принципа Паули приводит к последовательному увеличению энергии электронов при заполнении ими квантовых состояний.

3. Энергия Ферми E_F(0) - это энергия электронов на высшем, еще заполненном уровне при Т = 0 К.

4. Квантовая теория свободных электронов в металле для модели трехмерной потенциальной ямы (см. § 2) дает следующую формулу для энергии Ферми (см (10.10)):

здесь  - концентрация электронов.

5. Оценки дают для E_F(0) значение около 5 эВ.