Если изменение одного обстоятельства всегда вызывает изменение другого, то первое обстоятельство есть причина второго. Метод остатков

Пусть изучаемое явление K распадается на несколько однород­ных частей: a, b, с, d. Установлено, что ему предшествуют об­стоятельства А, В, С. При этом известно, что А является причи­ной а. В - причиной b, С- причиной с. Должно быть сходное с. А, В, С обстоятельство D, которое является причиной остающего­ся необъясненным явления d.

193

Примером, иллюстрирующим этот метод, является открытие планеты Нептун. Наблюдая за величинами отклонения планеты Уран от вычисленной для нее орбиты, учли отклонения на вели­чины а, b, с, которые вызваны наличием влияния планет А, В, С. Но Уран отклонялся еще на величину d. Сделали заключение, что должна существовать неизвестная планета D которая и вызыва­ет это отклонение. У. Леверье рассчитал положение этой неизве­стной планеты, а в 1846 г. И. Галле, построив телескоп, нашел ее на небесной сфере. Так была открыта планета Нептун.

Если известно, что причиной исследуемого явления не слу­жат необходимые для него обстоятельства, кроме одного, то это одно обстоятельство и есть, вероятно, причина дан­ного явления.

Все рассмотренные методы установления причинных связей были разработаны английским философом Ф. Бэконом. Они при­меняются чаще всего не изолированно друг от друга, а в соче­тании, дополняя друг друга.

§ 14. Дедукция и индукция в учебном процессе

Как в любых процессах познания (научного или обыденного), так и в процессе обучения дедукция и индукция взаимосвязаны. Ф. Энгельс писал: “Индукция и дедукция связаны между собой столь же необходимым образом, как синтез и анализ. Вместо того чтобы односторонне превозносить одну из них до небес за счет другой, надо стараться применять каждую на своем месте, а это­го можно добиться лишь в том случае, если не упускать из виду их связь между собой, их взаимное дополнение друг друга”'.

В индукции мы идем от посылок, выражающих знания мень­шей степени общности, к новому суждению большей степени общности, т. е. идем от отдельных конкретных явлений к обобщению. В дедукции ход рассуждения противоположный, т. е. от обобщений, выводов мы идем к отдельным конкретным фактам или суждениям меньшей степени общности. В процессе обуче­ния индуктивный и дедуктивный методы используются в един­стве. Индуктивный метод используется тогда, когда изучается

______________________

'Маркс К, Энгельс Ф .Соч. 2-е изд. Т. 20 .С.542—543.

194

новый материал, трудный для учащихся, но когда в результате беседы они сами смогут сделать определенное заключение обоб­щающего характера, или сформулировать правило, или доказать теорему, или вскрыть некоторую закономерность. Индуктивный метод больше активизирует учащихся, но от учителя требует творческого подхода и гибкости в преподавании. При этом затрачивается больше времени на подведение учащихся к самостоятельному заключению.

Дедуктивный метод состоит в том, что учитель сам формули­рует общее суждение, выражающее какое-то правило, закон, тео­рему и т. д., а затем применяет его, т. е. иллюстрирует частными примерами, случаями, фактами, событиями и т. д. Соединение дедукции и индукции в процессе обучения приводит к двум спосо­бам объяснения материала:

1) индуктивно-дедуктивному способу, когда объяснение “начи­нается с индукции и переходит затем в дедукцию (возможно, при значительном перевесе индукции)”,

2) дедуктивно-индуктивному способу, когда “сообщение уча­щимся нового осуществляется самим учителем в виде готового, сформулированного им правила или положения с последующими комментариями” '.

К. Д. Ушинский высоко ценил применение индукции при изуче­нии грамматики. На специально подобранных примерах он раз­вивал у детей умение подмечать закономерности языка и делать самостоятельные обобщения, формулировать правила, что име­ло огромное значение в развитии мышления младших школьни­ков. Дедукцию Ушинский ценил не меньше индукции и большую роль в обучении языку отводил последующим упражнениям, на­правленным на отыскание самими учащимися примеров на толь­ко что сформулированное правило. Эти же приемы используются не только на уроках родного языка, но и на уроках математики, истории, физики и др. Известный методист А. В. Текучев, обоб­щив данные экспериментальной проверки применения этих двух способов изучения материала, сделал вывод о том, что в работе над темой “Однородные члены предложения” (общее понятие,

'Текучев А. В. Методика русского языка в средней школе. М., 1980. С. 64.

195

союзы при однородных членах, обобщающие слова) оба способа могут быть использованы с одинаковым успехом; изучение же правил постановки знаков препинания при однородных членах предпочтительнее проводить дедуктивно-индуктивным спо­собом'. Соответствующая методика преподавания школьного предмета рекомендует учителям более конкретное использова­ние этих методов в работе над отдельными темами учебной школьной программы.

В математике имеется много приверженцев как индуктивно­го, так и дедуктивного метода. “На первых этапах обучения надо отдавать предпочтение индуктивному методу, постепенно подготавливая и используя дедуктивный подход”², ибо индук­тивные методы изложения материала, при которых происходит последовательное обобщение понятий, способствуют более ак­тивному усвоению материала. Л. Д. Кудрявцев констатирует:

“В последние годы наблюдается стремление заменять по воз­можности индуктивный подход дедуктивным, целесообразность этого часто представляется сомнительной”³.

Однако как при индуктивном, так и при дедуктивном мето­дах необходимо при изложении новых понятий или новых общих теорий значительное время отводить на конкретные иллюстра­ции, на разбор примеров, анализ частных ситуаций. В методике преподавания каждое высказывание в категорической форме легко можно довести до абсурда. От самого учителя зависит оптимальный выбор метода, позволяющего на высоком уровне самостоятельности организовать познавательную деятельность учащихся.

В математике используются различные виды индукции: пол­ная, неполная и математическая. Применение математической индукции покажем на следующем примере⁴. Надо определить сумму п первых нечетных чисел:

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1).

__________________________

'Текучее А. В. Методика русского языка в средней школе. М., 1980. С. 65.

²Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. М., 1980. С. 127.

³См.-.там же.С.131.

⁴Пример и решение см.: Головина Л. И., Яглом И. П. Индукция в геометрии. М„ 1961. С. 5.

196

Обозначив эту сумму через S(n), положим п == 1, 2, 3. 4, 5; тогда будем иметь:

S(1)=1,

S (2)= 1+3 =4,

S(3)=1+3+5=9,

S(4)=1+3+5+7=16,

S (5) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.

Мы наблюдаем интересную закономерность: при п = 1, 2, 3, 4, 5 сумма n последовательных четных чисел равна п². Но заключение по аналогии, что это имеет место при любом п, сде­лать нельзя, ибо оно может оказаться ошибочным. Применим метод математической индукции, т. е. предположим, что для какого-то числа п наша формула верна, и попытаемся доказать, что тогда она верна и для следующего числа п + 1. Итак, мы полагаем, что S (n) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n². Вычислим

S (п +1)= 1+3+5 +...+(2n-1)+(2n+1).

Но по предположению, сумма п первых слагаемых равна п², следовательно,

S (n + 1) = n² + (2 п + 1) = (n + I)².

Итак, предположив, что S (п) = n² , мы доказали, что S(n + 1) = (n + 1)². Но выше мы проверили, что эта формула верна для п = 1,2, 3, 4, 5, следовательно, она будет верна и для п = 6, и для п = 7 и т. д. Формула считается доказанной для любого числа слагаемых. Этот метод доказательства называется методом математической индукции.

Этим же методом' доказывается, что сумма первых n натураль­ных чисел, т.е. 1+2+3+4+5+...+n, обозначенная S₁, (n), равна

n-(n+1)

2

______________________________

'Читателям, интересующимся применением индукции в математике, мы ре­комендуем интересную книгу Д. Пойа “Математика и правдоподобные рассу­ждения”. (М., 1975), первый том которой называется “Индукция и аналогия в математике”.

197

Умозаключения делятся на логически необходимые и вероят­ностные (правдоподобные). Некоторые виды неполной индукции дают лишь вероятностные (или правдоподобные) заключения.

В математическом мышлении присутствуют не только логиче­ские рассуждения, но и математическая интуиция, фантазия и чувство гармонии, позволяющие предвидеть ход решения зада­чи или доказательства теоремы. Однако, как пишет Л. Д. Куд­рявцев, здесь “интуитивные соображения и правдоподобные рас­суждения отдаются на суд холодного рассудка для их изучения, доказательства или опровержения”; истинность суждения доказывается “не проверкой его на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов, что не имеет для математики доказатель­ной силы, а чисто логическим путем, по законам формальной ло­гики”. В ходе обучения математике предполагается, что “исполь­зование знаний, математического аппарата, интуиции, чувства гармонии, фантазии, умения думать, логики, эксперимента про­исходит не последовательно по этапам - все это взаимодейству­ет между собой в течение всего процесса”'. В результате этого взаимодействия у учащихся вузов и средних учебных заведений формируется, воспитывается математическая культура.

Итак, единство дедукции и индукции как в обучении, так и в научном творчестве своеобразно и ярко проявляется в математи­ке - науке, значительно отличающейся от естественных и от общественных наук как по методам доказательства, так и по методике передачи знаний учащимся.

Выше мы приводили типы и примеры сокращенных умозаклю­чений (категорического силлогизма, условных, разделительных и др.). Учащиеся в ходе обучения математике приобретают способность к свертыванию процесса математического рассу­ждения при решении задач знакомого типа - об этом писали еще известные русские методисты С. И. Шохор-Троцкий (в 191 б г.) и Ф. А. Эрн (в 1915 г.). Они отмечали, что “при многократном ре­шении однотипных задач учащимися отдельные этапы мысли­тельного процесса сокращаются и перестают осознаваться, но, когда нужно, учащийся может вернуться к полному развернуто-

_____________________________________________________

'КудрявцевЛ. Д. Современная математика и ее преподавание М., 1980. С. 91,2.

198

му рассуждению”'. Методисты-математики П. А. Шеварев и Н. А. Менчинская в начале 40-х годов также установили (со­ответственно на алгебраическом и арифметическом материа­ле), что “наряду с развернутыми умозаключениями в умст­венной деятельности школьников при решении задач занимают определенное место и свернутые умозаключения, когда уче­ник не осознает правила, общего положения, в соответствии с которым он фактически действует... не выполняет всей той цепи соображений и умозаключений, которые образуют пол­ную, развернутую систему решения”². Сокращение процесса рассуждения возникает благодаря упражнениям, причем спо­собные к математике учащиеся переходят к свернутым рас­суждениям быстро, ребята со средними способностями - ме­дленнее, у неспособных не замечалось сколько-нибудь заметного свертывания даже в результате многих упражнений. В. А. Крутецкий высказывает такую гипотезу: “Вообще нико­гда и нигде, вероятно, человек не мыслит до конца разверну­тыми структурами”³. Но способные ученики мыслят сверну­тыми структурами, сокращенными умозаключениями при решении не только однотипных, но и новых задач; при этом по просьбе экспериментатора эти учащиеся восстанавливали свер­нутые структуры до полной (с их точки зрения) структуры. “Свернутые” мыслительные структуры способствуют более быстрой переработке информации, ускорению процесса реше­ния задач, упрощают выполнение сложных операций.

Изучая компоненты структуры математических способностей школьников, В. А. Крутецкий проанализировал высказывания ряда ученых-математиков и преподавателей математики средних школ по этому вопросу. Приблизительно 38 % опрошенных обратили вни­мание на свертывание процесса рассуждения у способных учащихся. Приведем эти высказывания: “Процесс рассуждения у способных учащихся сокращен и никогда не развернут до полной логической структуры. Это очень экономно, и в этом его значение”; “Я часто

__________________________

¹Крутецкий В.А. Психология математических способностей. М., 1968. С. 291.

²Там же.

³Там же. С. 293.

199

наблюдал, как мыслят способные ученики, - для учителя и класса это развернутый и последовательный во всех звеньях процесс, а для себя - это отрывочный, беглый, очень сокращенный, прямо стенограмма мысли”. Ученые-математики выделяли “способ­ность быстро схватывать суть дела и проникать в глубины воп­роса, минуя промежуточные стадии рассуждения”, “способность мыслить, опуская многие звенья рассуждения”'.

Описывая качества ума этих учащихся, почти все опрошен­ные учителя математики и ученые-математики отмечали спо­собность к обобщению (98 %). Они так формулировали свои наблюдения: “Способный ученик быстро обобщает не только математический материал, но и метод рассуждения, доказатель­ства”; некоторые указывали на способность и даже своеобразную “страсть” к обобщению, способность “видеть общее в раз­ных явлениях”, “способность прийти от частного к общему”².

Если проанализировать знания, умения и навыки учащихся, относящиеся к использованию дедукции и индукции, то можно выделить наряду с положительными моментами и ряд недос­татков. Положительными моментами правильного сочета­ния дедуктивных и индуктивных умозаключений в мышле­нии, а также рационального использования либо дедуктивного, либо индуктивного, либо дедуктивно-индуктивного, либо индук­тивно-дедуктивного методов (способов) работы на уроке явля­ются следующие:

1) учащиеся 8 и 9 классов при написании сочинения в подав­ляющем большинстве умеют подобрать материал (публици­стический, литературный, по личным впечатлениям) в соответствии с темой (84% обследованных учащихся), развернуть и до­казательно раскрыть основную мысль сочинения, определить границы темы, обобщать материал и делать из него выводы;

2) положительные сдвиги в знаниях учащихся по истории во многом обусловлены дедуктивным введением ряда понятий.

Но вместе с тем проявляет себя недостаточно развитое уме­ние использовать дедуктивный ход рассуждений: дав верное определение, учащийся не всегда справляется с анализом конкретного произведения под углом зрения этого определения.

______________________

'Крутецкий В. А. Психология математических способностей. М., 1968. С. 207.

²Там же. С. 206,209.

200

У некоторых учащихся отсутствуют выводы по теме сочине­ния, иногда имеет место разрыв между фактологическими и тео­ретическими знаниями, отмечается неумение делать выводы и обобщения и т. д.

Указанные положительные моменты и недостатки в знаниях учащихся свидетельствуют о важном значении умелого сочета­ния индукции и дедукции в ходе изложения, закрепления и про­верки усвоения школьного материала. Общих рецептов, как, в какой мере использовать дедуктивный или индуктивный методы в обучении, дать нельзя. Как пишет Л. Д. Кудрявцев (о методи­ческих принципах преподавания математики): “К сожалению, не существует точных рецептов, как надо преподавать различные разделы математики. Методика преподавания математики не наука, а искусство. Правда, это вовсе не означает, что методике преподавания математики не надо учить. Всякому искусству можно и должно учить: учатся и художники, и музыканты, и ар­тисты, и писатели”'.

На основе разбора ошибок, допускаемых в педагогическом процессе, можно еще раз сделать вывод о творческом характе­ре применения различных методов обучения и воспитания, о недопустимости шаблонного подхода в процессе обучения.