- •Содержание
- •Введение
- •I. Теоретическая часть
- •1.1.Понятие теории игр
- •1.1.1.Основные понятия и определения
- •1.1.2. Классификация игр
- •1.1.3. Игры с природой
- •1.2. Матричные игры
- •1.2.1. Основные понятия матричных игр
- •1.2.2. Смешанное расширение матричной игры
- •1.2.3. Свойства решений матричных игр
- •1.2.4. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования
- •II. Практическая часть
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Критерии для принятия решений
- •2.3. Решение задачи
- •Заключение
- •Список литературы
2.2. Критерии для принятия решений
Для решения данной задачи необходимо рассмотреть матрицу рисков R и ряд критериев, которые применяются для решения игр с природой. Элементы матрицы rij представляют собой разность между выигрышем, который получил бы игрок А, если бы знал состояние природы Пij, и выигрышем, который он получит в тех же условиях, применяя стратегию Аi, то есть
rij = βj - αij, где βj = max αij.
При решении игр с природой применяется ряд критериев.
1. Если известно распределение вероятностей qj (j =), ∑qj=1 различных состояний природы Пj, то применяется критерий Байеса: критерием принятия решения является максимум математического ожидания выигрыша (минимум математического ожидания риска).
Запишем платежную матрицу (αij) и матрицу рисков гij в виде таблицы 1.1. и таблицы 1.2.
Таблица 1.1.
Стратегии Аi |
П1 |
П2 |
… |
Пn |
Средний выигрыш ai |
А1 |
a11 |
a12 |
… |
a1n |
a1 |
А2 |
a12 |
a13 |
… |
a2n |
a2 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Аm |
am1 |
am2 |
… |
amn |
am |
qj |
q1 |
q2 |
… |
qn |
|
Стратегии Аi |
П1 |
П2 |
… |
Пn |
Средний риск rij |
||
А1 |
r11 |
r12 |
… |
r1n |
r1 |
||
А2 |
r12 |
r13 |
… |
r2n |
r2 |
||
… |
… |
… |
… |
… |
… |
||
Аm |
rm1 |
rm2 |
… |
rmn |
rm |
||
qj |
q1 |
q2 |
… |
qn |
|
Таблица 1.2.
По критерию Байеса за оптимальную принимается та стратегия Аi, при которой максимизируется средний выигрыш, то есть обеспечивается
а = max аi, где ∑ aijqj() и минимизируется средний риск, то есть обеспечивается г = min ri, где ri=∑ aijqj.
2. Если все состояния природы равновероятны, то есть q1=q2=…qn =l/n, то используется принцип недостаточного основания Лапласа. Оптимальной считается стратегия, обеспечивающая максимум среднего выигрыша.
3. Максимальный критерий Вальда совпадает с критерием выбора максимальной стратегии, позволяющей получить нижнюю цену α игры для двух лиц с нулевой суммой, то есть
а = max min aij
4. Критерий минимального риска Сэвиджа рекомендует выбирать стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее значение в наихудших условиях, то есть обеспечивается max min rij
Критерии Вальда и Сэвиджа выражают пессимистическую оценку ситуации.
5. Критерий Гурвица рекомендует принимать решение о выборе стратегии, при которой имеет место max(λ min aij + (1-λ) max aij), где 0 ≤ λ ≤ 1
Значения λ выбираются исходя из опыта или по субъективным соображениям. При λ = 0 имеет место критерий крайнего оптимизма, при λ = 1 — критерий пессимизма Вальда.