49. Найдите портфель минимального риска из 2х независимых бумаг и его доходность.

ϸ₁₂=0

Ϭ²=x₁²Ϭ₁²+x₂²Ϭ₂² min

X₁+x₂=1

F(x) min

y(x)=0

L(x,λ)=f(x)+λg(x)

L=x₁²Ϭ₁²+x₂²Ϭ₂²+λ(x₁+x₂)

=2x₁Ϭ₁²+λ=0 (1)

=2x₂Ϭ₂²+λ=0 (2)

x₁+x₂-1=0 (3)

(1=2) x₁Ϭ₁²= x₂Ϭ₂²

x₁Ϭ₁²=(1-x₁)Ϭ₂²

x₁= ; x₂=

X=(

ϻx₁=x₁ϻ₁+x₂ϻ₂=

риск=Ϭ_x====

портфель min риска (ϻ_x,b_x)=(

50. Опишите свойства портфеля из двух независимых бумаг, одна из

которых безрисковая.

Пусть одна из 2х цен.бумаг портфеля (П) безрисковая.

А(ϻ1;0), В(ϻ1;ϻ2), дох-ть бумаги А<дох-ти В.

Исходные уравнения им.вид:ϻ=ϻ1х1+ϻ2х2; Ϭ=Ϭ2х2;

Х1+Х2=1.

Допустимое множеств портфелей задается уравнением и является отрезком:

ϻ=ϻ1(1-t)+ϻ2t=ϻ1+(ϻ2-ϻ1)t

вывод:1)Допустимое множ-во П не зависит от коэффициента корреляции; 2)Допуст.мн-во П сузилось с треугольника до отрезка.

51. Выведите и изобразите на рисунке зависимость доходности и рис-

ка портфеля из двух бумаг, одна из которых безрисковая, от доли безрисковой бумаги( от х).

Из рисунка видно, что риск П линейно убывает от Ϭ2 при х1=0 до нуля при х1=1, при этом дох-ть также линейно убывает от ϻ2 при х1=0 до ϻ1 при х1=1.

Ϭ Ϭ,ϻ

ϻ2

Ϭ2

Ϭ2

А

0 ϻ1 ϻ2 ϻ х1

52. Приведите математическую постановку задачи нахождения портфеля минимального риска при заданной доходности.

А(ϻ1,Ϭ1)

В(ϻ2,Ϭ2), ϻ1≠ϻ2, Х=(х1,х2)

Фиксируем дох-ть ϻ

П однозначно находится как решение системы

ϻ=ϻ1х1+ϻ2х2;

х1+х2=1.

↓

Х2=1-х1

ϻ=ϻ1х1+ϻ2(1-х1)  ϻ=ϻ2+х1(ϻ1-ϻ2).

Портфель им.вид:

х1=(ϻ-ϻ2)/(ϻ1-ϻ2)

х2=(ϻ1-ϻ)/(ϻ1-ϻ2)

здесь П определяется не рисками, а дох-тями. Вместо х подставляем в квадрат риска портфеля.

Ϭ²=x1 Ϭ² 1+x2Ϭ² 2+2ρ₁₂x1x2Ϭ1Ϭ2=(Ϭ² 1(ϻ-ϻ2)^2+ Ϭ² 2(ϻ-ϻ1)^2 – 2ρ Ϭ1Ϭ2(ϻ-ϻ1)(ϻ-ϻ2))/(ϻ1-ϻ2)^2

Это как связь риска П с его дох-тью.

Но если ϻ1=ϻ2, тогда будет уравнение минимальной границы П. Общий случай(ρ любое):

Ϭ²=( Ϭ² 1(ϻ-ϻ2)^2+Ϭ² 2(ϻ-ϻ1)^2))/(ϻ1-ϻ2)^2.

При увеличении коэф.корреляции от -1 до1 происходит уменьшение ϻ. График более вытянутый к оси абсцисс.т.е. при фиксированном изменении ожидаемой дох-ти увеличение риска становится меньше.

53. Выведите уравнение минимальной границы.

Уравнение min границы:

n активов

V= матрица ковариации

Х=(х₁,х₂,…,х_n)^T

µ - задано

- вектор доходности

Введем =I^TV^-1I

=I^TV^-1=^TV^-1I

=^TV^-1

=-²

54. Доказать, что уравнение минимальной границы является ветвью

гиперболы и найти ее асимптоты.

Пусть

Уравнение гиперболы с асимптотами:

А

М

В

<= MIN граница

Вершина M

AMB- график min границы

МВ – эффективная граница

Портфель минимального риска с доходностью не выше/ниже заданной

Рассмотрим портфель минимального риска

Определяется т. М (задача имеет тоже решение, что и задача минимального риска при фиксированной доходности).

_Если , то портфель минимального риска определяестя пересечением гиперболы с прямой