Билет №1 Множества. Операции над множествами.

DEF Множество- совокупность объектов любой природы, обладающих определенным свойством.

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

DEF. Пересечением двух множеств А и В называется множество С; состоящее из элементов, принадлежащих как множест­ву А так и множеству В, т.е. из элементов общих для множеств А и В. Пересечение С двух множеств А и В обозначается С =- А В. Множество С составляет общую часть множества А и В. Аналогич­но определяется пересечение произвольного конечного числа мно­жеств А

DEF. Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы од­ному из множеств А или В. Объединение С двух множеств А и В обозначается С •= А U В: Аналогично определяется объединение произвольного конечного -чис­ла множеств

DEF Разностью С двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А не принадлежащих В. Разность С двух множеств А и В обозначается С = А\.В .

DEF Если А подмножество В, то разноси В\А на­зывается дополнением А до В и обозначается а’B

DEF. Дополнением множества А называется множест­во, состоящее из элементов универсального множества не принадле­жащих множеству А.

Билет №2 Грани числовых множеств. Свойства точных граней

DEF Говорят, что множество Х ограничено сверху, если существует число с такое, что для любого х  Х выполняется неравенство хс., Число С называется верхней гранью множества X. Аналогично для нижней грани (xc) .DEF. Множество, ограниченное cверху или- снизу на­зывается ограниченным. DEF. Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества Х называется точной верхней гранью множества Х и обозначается sup X.

DEF. Наибольшая из нижних граней ограниченного снизу множества Х называется точной нижней граньто этого, множе­ства и обозначается inf Х .

Свойство точной верхней грани. Как бы ни было мало число  > 0, существует х  Х такое, что X>sup X-.

Действительно, если бы такое число Х не существовало, то тогда Sup Х- было бы точной верхней гранью множества X, а число Sup Х не являлось бы точной верхней гранью множества Х, что про­тиворечит условию. Таким образом, число SUp-  является наимень­шим из чисел, ограничивающих множество Х сверху, и не может быть уменьшено. Следовательно, точная верхняя грань единственная, Аналогично для нижней грани.

Вопрос 3 Теорема о существовании точной верхней и точной нижней грани множества. Теорема. Любое непустое, ограниченное сверху, числовое мно­жество имеет точную верхнюю грань. Доказательство. Пусть Х непустое множество, ограниченное сверху. Тогда Y-множество чисел, ограничивающих множество Х сверху, не пусто. Из определения верхней грани следует, что для любого х  Х и у  Y любого выполняется неравенство ху. В силу свойства не­прерывности вещественных чисел существует такое с, что для любых Х и у выполняются неравенства хс у - Из первого неравенства следует, что число с ограничивает множество Х сверху, т.е. является верхней гранью. Из второго неравенства следует, что число С являет­ся наименьшим из таких чисел, т.е. является точной верхней гранью. Теорема доказана. Аналогичная теорема для нижней грани.

Вопрос 5 Числовые последовательности. Действия над ними.

D EF. Если каждому числу n  N поставлено в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число Х, то множеств вещественных чисел называется числовой последовательностью или просто последовательностью.

П роизведением последовательности n на число m считается последовательность mn, суммой + ,…, + , Разностью

- , …, - , Произведением * ,…, * , Частным, если 

Вопрос 6 Ограниченные и неограниченные последовательности.

D EF. Последовательность {х„} называется ограничен­ной сверху (снизу), если существует число М (m) такое, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству M (хm), то есть

DEF. Последовательность {у„} называется ограничен­ной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. существуют числа m и М такие, что любой элемент Х„ этой последовательности удовле­творяет неравенству .

DEF Последовательность х„ называется неограничен­ной, если для любого положительного числа А (каким бы большим мы его ни взяли), найдётся хотя бы один элемент последова­тельности х„, удовлетворяющий неравенству

Вопрос 7 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.

DEF. Последовательность называется бесконечно большой если для любого положительного числа А (сколь бы большим мы его ни взяли) существует номер N такой, что для всех n>N выполняется неравенство то есть

D EF. Последовательность {„} называется бесконеч­но малой, если для любого положительного числа  .(сколь бы малым Мы ни взяли это число) существует номер N=N() такой, что при всех п > N выполняется неравенство | |< , Теорема о связи Бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей. Если { } бесконечно большая последовательность все ее члены отличны от 0, то последовательность {1\ } бесконечно малая и обратно, если{„} последовательность бесконечно малая и все ее элементы отличны от 0, то последовательность {1|„} бесконечно большая.

Вопрос 8. Основные свойства бесконечно малых последовательностей:

С умма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Д оказательство. Пусть { } и { } -бесконечно малые последовательности. Покажем, что последовательность { } бесконечно малая. Пусть  - произвольное положительное число - номер, начиная с которого выполняется неравенство | | < /2, а номер, начиная с которого выполняется неравенство | |< /2. Такие номера и существуют по определению бесконечно малой последовательности. Возьмем N = mах{ , , тогда при n>N будут одновременно выполняться оба неравенства | | < /2 и | |< /2. Следов., при , откуда следует что последовательность { } бесконечно малая.

Т еорема2. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность, Доказательство. Пусть { } и { - бесконечно малые последовательности. Покажем, что последовательность { * } бесконечно малая. Так как последовательность { }бесконечно малая, то для >0 существует номер , такой что | |< для всех n> . А так как { } бесконечно малая последовательность, то для =1 существует номер , такой что | |<  - при всех n> . Возьмем N = mах{ , , тогда при всех n>N будут выполняться оба неравенства одновременно. Следовательно при всех n>N . Это означает что последовательность { * } б.м.

Т еорема 3 Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть последовательность бесконечно малая.

Д оказательство. Пусть { } ограниченная последовательность, а { } –бесконечно малая последовательность. Покажем, что последовательность{ • } - бесконечно малая, так как последовательность {х„} ограничена, то существует число А > 0, такое, что для любого -элемента х„ выполняется неравенство |х„| <А. Возьмём  > 0, Так как { } бесконечно малая последовательность, то для положительного числа — /А .существует номер N, такой, что | l < /А.. Следовательно, при всех n>N имеем- А это означает, что последовательность { • }б м

Замечание. Частное двух бесконечно малых последовательностей может не быть бесконечно малой последовательностью и может не иметь смысла.