2. Динамический хаос

1. Нелинейный маятник

Уравняем момент инерции и момент силы

=>

=>

• - собственная частота маятника

Если то раскладывая sin, получим - маятник линейный.

=F

_{Сила линейного осциллятора пропорциональна х, значит, потенциал является квадратичный функцией, т.е. параболический.}

Колебания линейного маятника происходит в параболической яме.

Во-вторых, эта яма бесконечная (т.е. ее края уходят в )

Для нелинейного осциллятора потенциальная яма имеет границы

2. Характеристики нелинейного маятника.

Нелинейный осциллятор описывается уравнением:

Состояние осциллятора будем рассматривать в виде точки на фазовой плоскости . Для линейного осциллятора скорость и положение сдвинуты на .

Это означает, что на фазовой плоскости траектория будет в виде эллипса.

Потенциальная яма:

В отличии от параболического потенциального маятника этот потенциал ограничен величиной .

Полная энергия осциллятора носит название Гамильтониана:

(Выбрана система единиц, в которой m=1)

Рассмотрим точки равновесия:

Точки с четными n называются эллиптическими (в них потенциал имеет минимум), а точки с нечетными n называются гиперболическими(в них потенциал имеет максимум).

Рассмотрим случаи:

а) Пусть . Тогда частицы захвачены в потенциальную яму и осциллятор совершает финитное циклическое движение в потенциальной яме. Траектория – замкнутая,эллипс.

б)

- «пролетный режим»

Пролетные частицы со слабой модуляцией скорости.

в) - сепаратриса

Траектория – сепаратриса. Она проходит через гиперболические точки.

Для линейного случая частота . В нелинейном зависит от H. Вблизи сепаратрисы , а

3. Особенности движения вблизи сепаратрисы

Найдем уравнение движения на самой сепаратрисе:

Решение:

Найдем

Тогда из уравнения получим

.

В это движение заложен хаос.

Зависимость скорости от времени имеет горбовидный характер—солитоно подобное решение.

Это означает, что частица имеет большую скорость только в точке t=0 и надолго задерживается в точках поворота. Характерная ширина профиля скорости по времени 1/ω₀, Знак + соответствует движению солитона вправо (верхняя ветвь сепаратриссы), знак – соотв. движению влево (нижняя ветвь сепаратрисы).

4. Переменные: «Действие» и «угол»

H – Функция Гамильтона (Гамильтониан) – полная энергия системы

В одномерном случае:

m=1 =>

Существует класс канонических переменных и к ним относятся.

Опр.

Канонические переменные характеризуются тем, что уравнение движения записывается в виде:

Здесь отражается симметрия функции Гамильтона: Если она не зависият от какой-либо координаты, то по этой координате импульс сохраняется.

В общем случае переходят в обобщенные координаты:

Назовем

- действие

- угол

Действие является адиабатическим инвариантом и может приближенно служить законом сохранения.

За период: //поэтому и назван «угол»

Тогда выполняется:

Если , то I=inv.

Для линейного осциллятора

Этот переход справедлив для одномерного случая.