2. Явление опрокидывания (укручения) нелинейных волн

А.Вывод эквивалентного уравнения

Рассмотрим уравнение Кортевега-де-Вриза (КВД): (приняв )

.

Чтобы выделить явление нелинейности, будем пренебрегать дисперсией среды: (т.е. отбросим )

Уравнение перепишется:

Начальное возмущение: . (*)

Скорость распространения волны:

(1)

Известно, что если , то решение будет .

Пусть решение (1):

(2)

Выражение (2) является функциональным уравнением, эквивалентным уравнению (1).

Покажем, что решения (1) и (2) совпадают.

Возьмем производные и обозначим:

Подставим в (1)

=> ч.т.д.

Б. Укручение волн

Явление укручения волн рассм. на основе эквивалентного функционального уравнения (2).

Пусть начальный импульс волны имеет треугольный вид:

Кусочно-линейная функция, описывающая начальное возмущение в форме треугольника.

Эта форма начального импульса является достаточно хорошим приближением реального импульса более общей горбовидной формы.

Учтем:

Используем функциональное уравнение (2):

Введем новую переменную , тогда:

На основе функционального уравнения (2):

Возьмем производную:

u₀

Это явление и называют укручением волны.

в точке , импульс имеет прямоугольную форму.

При производная правой стороны импульса становится положительной, импульс принимает форму при t_3.

- безразмерное время (нормированное на )

Импульс меняет формы

В последнем промежутке появляется неоднозначность функции.

Если волновой процесс (например, описывает колебание плотности среды), то в данной точке пространства значение u будет разным (2 значения), а т.к. u описывает при этом плотность вещества, то в заданной точке пространства мы будем иметь разную плотность вещества.

Этот результата получается из-за того, что при t = t_кр происходит разрушение волны.

Обратимся к соотношениям (3).

Если , то исходная функция однородная, то она будет константой и дальше.

означает неоднородность начального профиля волны.

, то скорость зависит от u. => волна нелинейная.

t_кр определяет время разрушения волны:

укручение волны.

t₀ x t₁ x t₂ x

Замечания:

В действительности, не всегда возникает разрушение нелинейной волны. Процессу опрокидывания и разрушения волны препятствуют два явления: диссипация (затухание волн в среде) и дисперсия.

Диссипация и дисперсия являются конкурирующими процессами с нелинейностью.

В результате этой конкуренции опрокидывание волны не происходит, и устанавливаются ударные волны.

3. Преобразование Коула – Хопфа. Ударные волны

Рассмотрим влияние рассеяния (затухания) на явление укручения волн.

Пусть имеется уравнение Бюргерса

, (1)

- коэффициент диффузии.

Свойство уравнения Бюргерса состоит в том, что его можно свести к линейному уравнению теплопроводности. Для этого нужно провести преобразование Коула-Хопфа^

- (2), где =const .

Данная замена определяет функцию F с точностью до времени. .

Найдем производные:

Подставляем

Выберем (тогда нелинейные слагаемые уйдут)

Проинтегрируем ,

т к F(x, t) определяется с точностью до функции времени, то c(t) берут равной нулю. .

(При F=0 имеем тривиальное решение). Т к , то можно записать:

– уравнение теплопроводности.

Решение:

Необходимо определить . Зададим начальный импульс .

Предположим, что интеграл ограничен : .

Из преобразования Коула –Хопфа:

Подставляем, получаем решение

Введем функцию

Подставляем в (2) и получим решение уравнения Бюргерса

(10)

Решение (10) позволяет получить решения в общем виде для уравнения Бюргерса, соответствующие различным начальным профилям волны.