- •Линейные волны
- •Волновое уравнение. Бегущие волны
- •Преобразование Фурье.
- •Монохроматическая волна.
- •Характеристики линейных волн.
- •Фазовая скорость линейных волн
- •Дисперсия среды. Групповая скорость линейных волн
- •Явление опрокидывания (укручения) нелинейных волн
- •Преобразование Коула – Хопфа. Ударные волны
- •Асимптотические решения уравнения Бюргерса. Ширина фронта ударной волны
- •Оценки ширины фронта ударной волны. Число Рейнольдса
- •Спектр ударной волны.
- •Солитоны
- •Стационарные волны
- •Солитонные решения волнового уравнения (общие свойства)
- •Солитонное решение уравнения Кортевега - де -Вриза
- •Решение уравнения КдВ (общий вид)
- •Законы сохранения
- •Нелинейные уравнения, обладающие солитонными решениями
- •Нелинейные уравнения, не имеющие решений в виде солитонов.
- •Динамический хаос
- •Нелинейный маятник
- •Характеристики нелинейного маятника.
- •Особенности движения вблизи сепаратрисы
- •Переменные: «Действие» и «угол»
- •Уравнение нелинейного маятника при наличии внешней периодической силы.
- •Перекрытие резонансов. Критерий стохастичности
- •Параметрический резонанс
-
Линейные волны
-
Волновое уравнение. Бегущие волны
-
Пусть U – n-мерный вектор, описывающий некоторый волновой процесс и являющийся функцией координаты и времени. Тогда его эволюцию описывает волновое уравнение Даламбера:
(1)
- n-мерный оператор Лапласа, F(Р,t) – правая часть, некоторая функция, зависящая от координаты т. Р в пространстве и времени t , v (>0 )– скорость;
Начальные условия:
(2)
Если = const (не зависит от U), то уравнение линейное.
Рассмотрим одномерное уравнение U(x,t) = 0, т.е.
. (3)
Можно привести примеры волновых процессов, описываемых данным уравнением:
-
колебания бесконечной струны, тогда: U(x,t) – отклонение от положения равновесия, - скорость распространения сигнала по струне , - натяжение струны, - линейная плотность,
-
Электромагнитные колебания, . (Для воздуха и вакуума )
Метод Даламбера:
Уравнение характеристик: . (3.1)
Интегрируем, Введем новые переменные:
, -характеристики (решения (3.1))
тогда решением уравнения (3) будет любая дважды дифференцируемая функция от и : F(,).
Общее решение: , (4)
где - описывает расходящуюся волну от источника (расходящаяся волна), - описывает волну, приходящую в некоторую область (сходящаяся волна).
Решение (4) называется решением в виде бегущих волн.
v-фазовая скорость волны.
-
Преобразование Фурье.
Пусть U(x,t) –некоторый волновой импульс.
В линейном случае его можно представить в виде преобразование Фурье:
, где (5)
Фундаментальное решение уравнения будет записано в виде:
k - волновой вектор, - частота колебаний, A(k) – спектральные функции, т.е. это амплитуда волны с определенным волновым числом.
, .
В общем случае волновой вектор и частота связаны между собой. Эта связь осуществляется через дисперсионное уравнение:
(6)
Это уравнение, как правило, вытекает из граничных условий задачи. В самом простом случае частота и характеристики среды не зависят от k, то есть, нет дисперсии среды.
Если рассматривать ЭМ волну в неограниченном пространстве, то уравнение (6) преобразуется к следующему соотношению:
=. (7)
Т.к. параметры среды не зависят от k – дисперсии нет.
Амплитуда A(k) определяется через значение величины U(x,t) в начальный момент времени: =, тогда
, (8)
-
Монохроматическая волна.
Пусть начальное возмущение среды передается в виде гармонической волны.
, где A=.
Где - обобщенная функция, со свойствами:
Тогда - монохроматическая волна
В многомерном случае:
-
Характеристики линейных волн.
Реальная волна имеет следующие характеристики:
-
Амплитуда А, для линейной волны это const
-
Фаза волны ,
где k – волновой вектор
- частота волны
Фаза не имеет глубокого смысла. Имеет смысл разность фаз:
для одномерной волны , где - начальная фаза
Для линейных волн фаза является линейной функцией времени и координат.
Волна в общем случае будет записываться в следующем виде: .
Физический смысл имеет реальная часть: .
В общем случае - это вектор.
Если , то это поперечная волна (например, электромагнитная волна ).
Если , то это продольная волна (волны пространственного заряда, распространенные волны в веществе).
Волны, у которых могут быть плоскими (на плоскости), цилиндрическими (в цилиндрическом пространстве), сферическими(в сферическом).