- •Линейные волны
- •Волновое уравнение. Бегущие волны
- •Преобразование Фурье.
- •Монохроматическая волна.
- •Характеристики линейных волн.
- •Фазовая скорость линейных волн
- •Дисперсия среды. Групповая скорость линейных волн
- •Явление опрокидывания (укручения) нелинейных волн
- •Преобразование Коула – Хопфа. Ударные волны
- •Асимптотические решения уравнения Бюргерса. Ширина фронта ударной волны
- •Оценки ширины фронта ударной волны. Число Рейнольдса
- •Спектр ударной волны.
- •Солитоны
- •Стационарные волны
- •Солитонные решения волнового уравнения (общие свойства)
- •Солитонное решение уравнения Кортевега - де -Вриза
- •Решение уравнения КдВ (общий вид)
- •Законы сохранения
- •Нелинейные уравнения, обладающие солитонными решениями
- •Нелинейные уравнения, не имеющие решений в виде солитонов.
- •Динамический хаос
- •Нелинейный маятник
- •Характеристики нелинейного маятника.
- •Особенности движения вблизи сепаратрисы
- •Переменные: «Действие» и «угол»
- •Уравнение нелинейного маятника при наличии внешней периодической силы.
- •Перекрытие резонансов. Критерий стохастичности
- •Параметрический резонанс
-
Спектр ударной волны.
Будем считать .
Спектральная функция:
Отсюда следует, что спектральная функция убывает с ростом k (волновое число)
То ,что нельзя оборвать спектр при конечных k,это приведет к тому, что в спектре существуют сингулярные (бесконечные) разрывы.
Если перейти к сглаженному профилю, т.е. при конечной вязкости и числах Рейнольдса R>>1, в этом случае спектр гармоник можно эффективно обрезать при .
При этом эффективная ширинаспектральной функции будет оцениваться
Т.к. =>
-
Солитоны
-
Стационарные волны
Если задано некоторое волновое уравнение, причем неважно является ли оно линейным или нелинейным, оно может иметь решение в виде стационарной волны
Причем для линейного уравнения , а для нелинейного – зависит от амплитуды сигнала
Из класса нелинейных стационарных волн выделим уединенные волны. Уединенная волна характеризуется тем, что ее переход из одного предельного состояния в другое локализовано по .
РИСУНКИ Я не знаю надо или нет????????
-
Солитонные решения волнового уравнения (общие свойства)
Из всего многообразия уединенных волн выделяют солитонные решения.
Солито́н — структурно устойчивая, уединённая волна, распространяющаяся в нелинейной среде.
Опр.
Солитоном называется решение волнового уравнения в виде уединённой стационарной волны, которая при столкновении (взаимодействии) с другими такими же волнами асимптотически сохраняет свою форму и скорость.
Т.е солитоны ведут себя подобно частицам (частице подобная волна): при взаимодействии друг с другом или с некоторыми другими возмущениями они не разрушаются, а двигаются, сохраняя свою структуру неизменной. Это свойство может использоваться для передачи данных на большие расстояния без помех.
Интерпретация определения: пусть дано решение .
Допустим в начальный момент времени решение состоит из набора солитонных решений: , причем - соответствующая фаза данного солитона.
Допустим этот солитон через некоторое время взаимодействует с другими солитонами. Произойдет следующее: , , где
Линейное волновое уравнение может иметь солитонное решение, но не во всяком случае. В частности в среде без дисперсии (если среда с дисперсией – оно отсутствует).
В нелинейном уравнении существует солитонное решение только в среде с дисперсией. Т.е. солитонное решение является результатом конкуренции явлений укручения волны и дисперсии среды.
-
Солитонное решение уравнения Кортевега - де -Вриза
Уравнение Кортевега-де-Вриза (КДВ) впервые появилось, когда изучались длинные волны на мелкой воде (каналы).
. (а) – классический вид
. (б) - модифицированный
Слагаемые отражают нелинейность. А слагаемые связаны с дисперсией среды.
(Уравнение КДВ описывает нелинейные волны в жидкостях (движение по трубам), распределение электромагнитных импульсов по нервным волокнам человека, гидродинамические волны в плазме, включая космическую плазму, и т.д. )
Солитоном называют решение волнового уравнения в виде уединенной стационарной волны , которая при столкновении с другими такими же волнами асимптотически сохраняет свою форму и скорость.
Солитонные решения КДВ получили свое уравнение, исследуя распространение волн в одном направлении по поверхности мелкого канала.
- глубина канала (средняя величина);
При распространении глубина меняется , где мало и определяет положение поверхности канала на дно (отклонение).
Дифференциальное уравнение, описывающее движение волны имеет вид:
. (1)
Х – направление распространения
- гравитационная постоянная.
- произвольная постоянная;
, где- плотность жидкости;- поверхностное натяжение жидкости.
Сделаем замену переменных:
,
, (2)
придем к модифицированному виду уравнения КдВ:
. (3)
Причем для этого случая .Заменой можно перейти к любому .
Если в (3) сделать замену , то перейдем к классическому виду уравнения КдВ . (4)
Будем искать решение в виде стационарной волны , . (5)
- скорость бегущей волны.
Вычислим: , , . (6)
Подставим (6) в (4):
.
Проинтегрируем:
.
Т.к., получим , .
=>. (7)
Умножим на и проинтегрируем
. (8)
Получим
. (9)
Тогда решение: (11) - эллиптический интеграл.
Способы решения:
-
(9)сводят преобразованиями к известным решениям среди трансцендентных функций
-
сводят к (11) и записывают его в виде некоторой трансцендентной функций
Решение зависит от корней полинома P(U). А корни кубического полинома зависят от граничных условий, т.е. от значений
Возьмем => (12)
Чтобы существовало действительное физическое решение было, должно быть .
В (12) единственный отрицательный сомножитель , при
То можно сделать преобразование и свести (9) к уравнениям, решением которых является эллиптические функции Якоби sn(z,k)
Введем параметр
Эта интегрируемая функция Якоби имеет асимптотические значения:
В зависимости от параметров получим в 1м случае – слабую колебательную волну, во 2м – солитон.
Т.к. уединенная волна локализована в некоторой области, то ее первая и вторая производные при будут равны нулю. Это будет означать, что для солитонного решения.
Полином (10) сильно упрощается
и интеграл можно взять.
Тогда решение будет:
(12) – решение в виде солитона.(это частное решение, удовлетворяющее краевым условиям )
Основные свойства солитонов уравнения КДВ
-
Амплитуда солитонов КДВ растет с ростом скорости (линейно). А его длительность обратно пропорциональна квадратному корню из скорости.
-
Знак решения в виде уединенной волны зависит от знака .
-
Уединенные волны уравнения КДВ однонаправлены, т.к. скорость не может быть отрицательной, т.к. должно быть действительным, а при .
Более общее решение уравнения (11) содержит и периодическую стационарную волну. Для получения этого решения следует взять ненулевые значения постоянных и определенным образом подобрать положение нулей .