- •§ 16. Елементи теорії функцій комплексної змінної
- •16.1 Функції комплексної змінної.
- •16.1.1. Основні поняття
- •16.1.2 Границя і неперервність функції комплексної змінної
- •16.1.3. Основні елементарні функції комплексної змінної
- •16.1.3.1. Показникова функція
- •16.1.3.2. Логарифмічна функція
- •16.1.3.5. Тригонометричні функції
- •16.1.3.6. Гіперболічні функції
- •16.1.3.7. Обернені тригонометричні і гіперболічні функції
- •16.1.4. Диференціювання функції комплекснї змінної. Умови Ейлера-Даламбера.
- •16.1.5. Аналітична функція. Диференціал
- •16.1.6. Геометричний зміст модуля і аргумента похідної. Поняття про конформне відображення
- •Приклади конформних відображень, що здійснюються деякими елементарними функціями див. Додаток 1.
- •16.2. Інтегрування функції комплексної змінної
- •16.2.1 Означення, властивості і правила обчислення інтеграла
- •16.2.2. Теорема Коші. Первісна , невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •16.2.3. Інтеграл Коші. Інтегральна формула Коші
- •16.3. Ряди в комплексній площині
- •16.3.1. Числові ряди
- •16.3.2. Степеневі ряди
- •Ряд Тейлора
- •Нулі аналітичної функції
- •Ряд Лорана
- •Ряд Лорана для функції
- •○ Скористаємося відомим розкладом
- •16.3.6. Класифікація особливих точок. Зв'язок між нулем і полюсом функції
- •Усувні особливі точки
- •Істотно особлива точка
- •16.4. Лишок функції
- •16.4.1. Поняття лишка і основна теорема про лишки
- •16.4.2. Обчислення лишків. Застосування лишків в обчисленні інтегралів
16.3. Ряди в комплексній площині
16.3.1. Числові ряди
Ряд , (3.1)
членами якого є комплексні числа, називається числовим рядом (у комплексній області). Ряд (3.1) з комплексними членами можна записати у вигляді:
,
де an і bn (n = 1, 2, 3,…)–дійсні числа.
Сума перших n членів ряду (3.1) називається n-ю частинною сумою ряду.
Якщо існує скінчена границя S послідовності частинних сум Sn ряду: , то ряд (3.1) називається збіжним, а S – сумою ряду; якщо не існує, то ряд (3.1) називається розбіжним.
Очевидно, що ряд (3.1) збіжний тоді і тільки тоді, коли збіжний кожний з рядів:
(3.2)
та
(3.3)
При цьому , де S1 – сума ряду (3.2), а S2 – сума ряду (3.3). Це означає, що дослідження збіжності ряду з комплексними членами зводиться до дослідження збіжності рядів (3.2) і (3.3) з дійсними членами.
У теорії рядів з комплексними членами основні означення, багато теорем і їх доведення аналогічні відповідним означенням і теоремам з теорії рядів з дійсними членами.
Наведемо деякі з них.
Залишком ряду (3.1) називається різниця
.
Теорема 3.1 (необхідна ознака збіжності ряду). Якщо ряд (3.1) збіжний, то його загальний член при прямує до нуля: .
Ряд (3.1) називається абсолютно збіжним, якщо збіжний ряд
(3.4)
За умовою ряд із загальним членом збіжний. Тоді внаслідок очевидних нерівностей і і згідно ознаки порівняння збіжні ряди і . Звідси випливає збіжність рядів (3.2) і (3.3), а значить, і абсолютна збіжність ряду (3.1).
Якщо ряд абсолютно збіжний і має суму , то ряд, отриманий з нього перестановкою членів, також збіжний і має ту ж суму , що і початковий ряд.
Абсолютно збіжні ряди можна почленно додавати та множити.
При дослідженні на збіжність рядів з комплексними членами застосовні усі відомі з дійсного аналізу ознаки збіжності знакопостійних рядів, зокрема ознака Даламбера: якщо існує , то при ряд (3.4) абсолютно збіжний, а при - розбіжний.
16.3.2. Степеневі ряди
Степеневим рядом у комплексній площині називають ряд виду
, (3.5)
де - комплексні числа (коефіцієнти ряду), - комплексна змінна.
Розглядають також і степеневі ряди вигляду
, (3.6)
які називають рядом за степенями різниці , - комплексне число. Підстановкою ряд (3.6) зводиться до ряду (3.5).
Ряд (3.5) при одних значеннях аргументу може збігатися, при інших – розбігатися.
Сукупність усіх значень , при яких ряд (3.5) збіжний, називається областю збіжності цього ряду.
Основною теоремою степеневих рядів є теорема Абеля, що встановлює структуру області збіжності степеневого ряду.
Теорема 3.2 (Абель). Якщо степеневий ряд (3.5) збіжний при (у точці ), то він абсолютно збіжний при всіх значеннях , що задовольняють умові .
Доведення теореми аналогічне доведенню теореми Абеля в дійсному аналізі .
Наслідок 3.1. Якщо ряд (3.5) розбіжний при , то він розбіжний при всіх значеннях , що задовольняють умові (тобто поза кругом радіуса з центром в початку координат).
Якщо ряд (3.5) має хоча б одну відмінну від нуля точку збіжності, то з теореми Абеля випливає існування числа такого, що при всіх значеннях , що задовольняють нерівності , степеневий ряд (3.5) абсолютно збіжний, а при - розбіжний. Нерівності задовольняють точки комплексної області, що лежать всередині круга радіуса з центром у точці .
Величина називається радіусом збіжності ряду (3.5), а круг - кругом збіжності ряду. У крузі ряд (3.5) збіжний, поза цим кругом – розбіжний; на колі можуть розташовуватися як точки збіжності, так і точки розбіжності ряду.
Прийнято вважати, що , якщо ряд (3.5) збіжний в одній точці ; , якщо ряд збіжний на всій комплексній площині. Кругом збіжності ряду (3.6) є круг з центром у точці .
Радіус збіжності ряду (3.5) можна обчислити за формулою (або ), отриманої після застосування ознаки Даламбера ( Коші) до ряду з модулів членів початкового ряду.
Наведемо (без доведення) деякі властивості степеневого ряду.
1. Сума степеневого ряду усередині круга його збіжності є аналітична функція.
2. Степеневий ряд усередині круга збіжності можна почленно диференціювати і почленно інтегрувати будь-яке число раз. Отриманий при цьому ряд має той же радіус збіжності, що і вихідний ряд.
Приклад 11. Знайти область збіжності ряду .
○ Тут , ,
,
тобто . Отже, областю збіжності є вся площина . ●
Приклад 12. Знайти круг збіжності ряду .
○ Тут . Даний ряд збіжний в крузі . ●
Приклад 13. Визначити радіус збіжності ряду та дослідити збіжність ряду в точках , , .
○ Скористаємося ознакою Даламбера. Тут
, , .
Ряд збіжний при всіх , що задовольняють нерівності , тобто . Кругом збіжності є круг з центром у точці і радіусом 1.
Точка лежить усередині круга збіжності, у цій точці ряд збіжний абсолютно. Точка лежить на межі круга збіжності, у цій точці ряд може збігатися (абсолютно або умовно) або розбігатися. Підставляючи значення у вираз загального члену ряду, одержимо . Числовий ряд із загальним членом розбіжний відповідно до інтегральної ознаки Коші . Отже, у точці степеневий ряд розбіжний.
Точка лежить поза кругом збіжності, тому ряд в даній точці розбіжний. ●