16.2.3. Інтеграл Коші. Інтегральна формула Коші

Теорема 2.2. Нехай функція f(z) аналітична в замкненій однозв'язній області і L – межа області D. Тоді має місце формула

, (2.5)

де - будь-яка точка всередині області D, а інтегрування по контуру L проводиться в додатному напрямку (тобто проти годинникової стрілки).

Інтеграл, що знаходиться в правій частині рівності (2.5), називається інтегралом Коші, а сама ця формула називається інтегральною формулою Коші.

Формула Коші (2.5) є однією з найважливіших у теорії функцій комплексної змінної. Вона дозволяє знаходити значення аналітичної функції f(z) в будь-якій точці z₀, що лежить всередині області D через її значення на межі цієї області.

Побудуємо коло l_r з центром у будь-якій точці z₀ , взявши радіус r настільки малим, щоб дане коло було повністю розташоване всередині області (щоб l_r не перетинало L).

Отримаємо двозв’язну область D₁ (заштриховану на рис. 12), обмежену контурами L і l_r, в якій функція аналітична.

Тоді, відповідно до наслідку 1 з теореми Коші, маємо:

Рис. 12 .

Звідси випливає:

.

Але (див. приклад 8), тому

,

тобто

. (2.6)

Оцінимо різницю в лівій частині рівності (2.6). Оскільки аналітична функція f(z) неперервна в точці , то для будь-якого числа знайдеться число таке, що при (на колі l_r маємо ) виконується нерівність .

Застосовуючи властивість 6 про оцінку модуля інтеграла (п. 2.1), маємо:

.

Число може бути вибране як завгодно малим, а ліва частина останньої нерівності не залежить від , то вона дорівнює нулю:

,

звідси випливає формула (2.5).

Відзначимо, що інтегральна формула Коші (2.5) виконується для багатозв’язної області: кожний з контурів обходиться так, щоб область D залишалася ліворуч.

Застосовуючи інтегральну формулу Коші, можна довести наступні теореми-наслідки.

Теорема 2.3. Для всякої диференційовної у точці z функції f(z) існують похідні всіх порядків, причому n-а похідна має вигляд:

. (2.7)

Таким чином, похідна аналітичної функції також є аналітичною функцією.

Нагадаємо, що з диференційовності дійсної функції не випливає навіть існування другої похідної (функція має похідну в точці x=0, а похідна цієї функції при x=0 не існує).

Теорема 2.4. В околі кожної точки z, де існує похідна f(z), функція f(z)

може бути подана збіжним рядом:

(2.8)

Ряд (2.8) називається рядом Тейлора функції f(z) у точці z₀.

Ряд Тейлора диференційовної в точці z₀ функції існує та збігається до самої функції. Ряд же Тейлора для дійсної функції f(z) може збігатися до іншої функції або бути розбіжним.

Зауваження. Формула n-ї похідної функції f(z) може бути отримана з формули Коші

(2.9)

(у формулі (2.5) замінимо z на , z₀ на z) шляхом послідовного диференціювання рівності (2.9) по z:

. (2.10)

Формули (2.5) і (2.7) можна використовувати для обчислення інтегралів по замкнених контурах.

Приклад 9. Обчислити , де а) L - коло |z|=1, б) L - коло |z-i|=2.

○ а) функція є аналітичною в області . За теоремою Коші маємо .

б)На рисунку 13 зображена область,

Рис. 13 обмежена контуром інтегрування.

В цій області знаходиться точка , в якій знаменник підінтегральної функції дорівнює нулю. Перепишемо інтеграл у вигляді .

Функція є аналітичною в даній області. Застосовуючи інтегральну формулу Коші (2.5), знаходимо:

. ●

Приклад 10. Обчислити .

○ Всередині кола і на його межі |z|=1 функція аналітична. Тому, внаслідок формули (2.7), маємо

. ●