- •§ 16. Елементи теорії функцій комплексної змінної
- •16.1 Функції комплексної змінної.
- •16.1.1. Основні поняття
- •16.1.2 Границя і неперервність функції комплексної змінної
- •16.1.3. Основні елементарні функції комплексної змінної
- •16.1.3.1. Показникова функція
- •16.1.3.2. Логарифмічна функція
- •16.1.3.5. Тригонометричні функції
- •16.1.3.6. Гіперболічні функції
- •16.1.3.7. Обернені тригонометричні і гіперболічні функції
- •16.1.4. Диференціювання функції комплекснї змінної. Умови Ейлера-Даламбера.
- •16.1.5. Аналітична функція. Диференціал
- •16.1.6. Геометричний зміст модуля і аргумента похідної. Поняття про конформне відображення
- •Приклади конформних відображень, що здійснюються деякими елементарними функціями див. Додаток 1.
- •16.2. Інтегрування функції комплексної змінної
- •16.2.1 Означення, властивості і правила обчислення інтеграла
- •16.2.2. Теорема Коші. Первісна , невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •16.2.3. Інтеграл Коші. Інтегральна формула Коші
- •16.3. Ряди в комплексній площині
- •16.3.1. Числові ряди
- •16.3.2. Степеневі ряди
- •Ряд Тейлора
- •Нулі аналітичної функції
- •Ряд Лорана
- •Ряд Лорана для функції
- •○ Скористаємося відомим розкладом
- •16.3.6. Класифікація особливих точок. Зв'язок між нулем і полюсом функції
- •Усувні особливі точки
- •Істотно особлива точка
- •16.4. Лишок функції
- •16.4.1. Поняття лишка і основна теорема про лишки
- •16.4.2. Обчислення лишків. Застосування лишків в обчисленні інтегралів
16.4.2. Обчислення лишків. Застосування лишків в обчисленні інтегралів
Правильні або усувні особливі точки. Очевидно, якщо є правильна або усувною особливою точкою функції , то (в розкладі Лорана (3.11) у цих випадках відсутня головна частина, тому ).
Полюс. Нехай точка є простим полюсом функції . Тоді ряд Лорана для функції в околі точки має вигляд . Звідси .
Тому, переходячи в цій рівності до границі при , отримуємо
Res (4.3)
Зауваження. Формулу (4.3) для обчислення лишка функції в простому полюсі можна подати в іншому вигляді, якщо функція є часткою двох функцій, аналітичних в околі точки.
Нехай , де , а має простий нуль в (тобто , ). Тоді, застосовуючи формулу (4.3), маємо: , тобто
Res (4.4)
Нехай точка є полюсом m-го порядку функції . Тоді лоранівський розклад функції в околі точки має вигляд . Звідси .
Диференціюючи останню рівність раз, отримаємо:
.
Переходячи тут до границі при , отримуємо:
Res (4.5)
Істотно особлива точка. Якщо точка — істотно особлива точка функції , то для обчислення лишка функції в цій точці зазвичай безпосередньо визначають коефіцієнт в розкладі функції в ряд Лорана.
Приклад 20. Знайти лишки функції в її особливих точках.
○ особливими точками функції є: — простой полюс, — полюс третього порядку ( ). Отже, по формулі (4.4) маємо .
Використовуючи формулу (3.5) знаходимо:
. ●
Приклад 21. Знайти лишки функції в особливій точці .
○ Лоранівський розклад даної функції в околі точки було знайдено в прикладі 3.4. З нього знаходимо тобто .
Теорема про лишки часто використовується для обчислення інтеграла від функції комплексної змінної по замкненому контуру. ●
Приклад 22. Обчислити , де L – коло
○ Функція має в крузі
(див. рис. 20) простий полюс і полюс другого порядку . Застосовуючи формули (4.2), (4.3) і (4.5) отримуємо:
Рис. 20
Визначений інтеграл вигляду за допомогою заміни в деяких випадках вдається перетворити в інтеграл по замкнутому контурі від функції комплексної змінної, до якого уже застосовна основна теорема про лишки. ●
Приклад 23. Обчислити за допомогою лишків інтеграл .
○ Зробимо заміну змінних, поклавши . Тоді , . При зміні x від 0 до 2 точка z опише в додатньому напрямку коло . Отже,
.
У крузі функція має полюс другого порядку . За формулою (4.5) знаходимо
.
Отже, . ●