- •§ 16. Елементи теорії функцій комплексної змінної
- •16.1 Функції комплексної змінної.
- •16.1.1. Основні поняття
- •16.1.2 Границя і неперервність функції комплексної змінної
- •16.1.3. Основні елементарні функції комплексної змінної
- •16.1.3.1. Показникова функція
- •16.1.3.2. Логарифмічна функція
- •16.1.3.5. Тригонометричні функції
- •16.1.3.6. Гіперболічні функції
- •16.1.3.7. Обернені тригонометричні і гіперболічні функції
- •16.1.4. Диференціювання функції комплекснї змінної. Умови Ейлера-Даламбера.
- •16.1.5. Аналітична функція. Диференціал
- •16.1.6. Геометричний зміст модуля і аргумента похідної. Поняття про конформне відображення
- •Приклади конформних відображень, що здійснюються деякими елементарними функціями див. Додаток 1.
- •16.2. Інтегрування функції комплексної змінної
- •16.2.1 Означення, властивості і правила обчислення інтеграла
- •16.2.2. Теорема Коші. Первісна , невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •16.2.3. Інтеграл Коші. Інтегральна формула Коші
- •16.3. Ряди в комплексній площині
- •16.3.1. Числові ряди
- •16.3.2. Степеневі ряди
- •Ряд Тейлора
- •Нулі аналітичної функції
- •Ряд Лорана
- •Ряд Лорана для функції
- •○ Скористаємося відомим розкладом
- •16.3.6. Класифікація особливих точок. Зв'язок між нулем і полюсом функції
- •Усувні особливі точки
- •Істотно особлива точка
- •16.4. Лишок функції
- •16.4.1. Поняття лишка і основна теорема про лишки
- •16.4.2. Обчислення лишків. Застосування лишків в обчисленні інтегралів
Істотно особлива точка
Якщо — істотно особлива точка, то, як доводиться (теорема Сохоцького-Вейерштраса), у досить малому околі точки функція стає невизначеною. У такій точці аналітична функція не має ні скінченної, ні нескінченної границі. Вибираючи різні послідовності точок , які збігаються до істотно особливої точки , можна отримати різні послідовності відповідних значень функції, що збігаються до різних границь.
Приклад 16. Визначити тип особливості в точці .
○ Функція в околі точки має наступний лоранівський розклад: (див. приклад 14). Точка є істотно особливою точкою. Якщо вздовж додатньої частини дійсної осі, то ; якщо уздовж від’ємної частини дійсної осі, то .
Оскільки границя не існує, то маємо істотно особливу точку. ●
Зауваження. Класифікацію ізольованих особливих точок можна поширити на випадок, коли особливою точкою функції є нескінченно віддалена точка, .
Околом точки називають зовнішність якого-небудь круга з центром у точці і досить великим радіусом R (чим більше R,тим меншший окіл точки ).
Точку називають ізольованою особливою точкою, якщо в деякому околі її немає інших особливих точок функції .
Нескінченно віддалена ізольована особлива точка може бути усувною особливою точкою, полюсом порядку m чи істотно особливою точкою. У першому випадку лоранівський розклад функції в околі точки не має членів з додатніми показниками, у другому — має їх лише скінчене число, у третьому випадку в розкладі є нескінченно багато членів з додатніми показниками.
Вивчення функції в околі точки можна звести шляхом підстановки до вивчення функції в околі точки .
Приклад 17. Знайти особливі точки функції .
○ Особливою точкою функції є . Знайдемо границю функції при : . Отже, точка є полюсом. Можна переконатися, що , . Отже (див. (3.7)), точка – полюстретього порядку. ●
Приклад 18 Дослідити особливості функції .
○ Для даної функції точки і — прості полюсы, – полюс другого порядку. ●
Приклад 19. З'ясувати поведінку функцій , в околі точки.
○ Зробимо підстановку . Тоді функція матиме вигляд . При умові має місце розклад . Повертаючись до старої змінної, маємо
, .
Тому точка є усувною особливою точкою (див. останнє зауваження).
Неважко переконатися, що для функції є правильною точкою. ●
16.4. Лишок функції
16.4.1. Поняття лишка і основна теорема про лишки
Лишком аналітичної функції в ізольованій особливій точці називається комплексне число, що дорівнює значенню інтеграла , узятого в додатньому напрямку по колу L з центром у точці , що лежить в області аналітичної функції (тобто в кільці ).
Позначаються лишки функції в ізольованій особливій точці символом або символом . Таким чином,
Res (4.1)
Якщо у формулі (3.12) покласти , то отримаємо
або ,
тобто лишки функції відносно особливої точки дорівнює коефіцієнту при першому члені з від’ємним показником у розкладі функції в ряд Лорана (3.11).
Теорема 3.7 (Коші). Якщо функція є аналітичною в замкненій області , обмеженій контуром L, за винятком скінченого числа особливих точок , що лежать усередині області D, то
. (4.2)
Навколо кажної особливої точки опишемо коло так, щоб воно повністю містилося в області D, не містило усередині інших особливих точок і щоб ніякі два з цих кіл не мали спільних точок (див. рис.19)
Тоді згідно теореми Коші для багатозв’язної області (наслідок 1 теореми 2.1) маємо:
,
де при інтегруванні всі контури обходяться проти годинникової стрілки. Але, відповідно до формули (4.1),
Маємо:
,
,
……………………
.
Рис. 19
Отже, , тобто .