- •§ 16. Елементи теорії функцій комплексної змінної
- •16.1 Функції комплексної змінної.
- •16.1.1. Основні поняття
- •16.1.2 Границя і неперервність функції комплексної змінної
- •16.1.3. Основні елементарні функції комплексної змінної
- •16.1.3.1. Показникова функція
- •16.1.3.2. Логарифмічна функція
- •16.1.3.5. Тригонометричні функції
- •16.1.3.6. Гіперболічні функції
- •16.1.3.7. Обернені тригонометричні і гіперболічні функції
- •16.1.4. Диференціювання функції комплекснї змінної. Умови Ейлера-Даламбера.
- •16.1.5. Аналітична функція. Диференціал
- •16.1.6. Геометричний зміст модуля і аргумента похідної. Поняття про конформне відображення
- •Приклади конформних відображень, що здійснюються деякими елементарними функціями див. Додаток 1.
- •16.2. Інтегрування функції комплексної змінної
- •16.2.1 Означення, властивості і правила обчислення інтеграла
- •16.2.2. Теорема Коші. Первісна , невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •16.2.3. Інтеграл Коші. Інтегральна формула Коші
- •16.3. Ряди в комплексній площині
- •16.3.1. Числові ряди
- •16.3.2. Степеневі ряди
- •Ряд Тейлора
- •Нулі аналітичної функції
- •Ряд Лорана
- •Ряд Лорана для функції
- •○ Скористаємося відомим розкладом
- •16.3.6. Класифікація особливих точок. Зв'язок між нулем і полюсом функції
- •Усувні особливі точки
- •Істотно особлива точка
- •16.4. Лишок функції
- •16.4.1. Поняття лишка і основна теорема про лишки
- •16.4.2. Обчислення лишків. Застосування лишків в обчисленні інтегралів
16.2.2. Теорема Коші. Первісна , невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
Теорема 2.1 (Коші). Якщо функція f(z) аналітична в однозв'язній області D, то інтеграл від цієї функції по будь-якому замкненому контуру L, що лежить в області D, дорівнює нулю, тобто .
□
Доведемо теорему, припускаючи неперервність похідної f’(z) (це спрощує доведення і не є обмеженням, бо аналітична функція, насправді,має похідні всіх порядків). За формулою (2.2) маємо:
.
В наслідок аналітичності f(z)=u+iv і неперервності f(z) в однозв'язній області D, функції u=u(x;y) і v=v(x;y) неперервні і диференційовані в цій області і задовольняють умовам Ейлера-Даламбера: і . Ці умови означають рівність нулю інтегралів і (Чому?). Отже,
■ Теорема Коші допускає поширення на випадок багатозв’язної області.
Розглянемо для визначеності тризв’язну область D, обмежену зовнішнім контуром L і внутрішніми контурами L1 і L2 . Виберемо додатній напрямок обходу контурів: при обході область D залишається ліворуч (див. рис. 8).
Нехай функція f(z) аналітична в області D і на контурах L, L1 і L2 (тобто в замкненій області ; функція називається аналітичною в замкненій області , якщо вона аналітична в деякій області, що містить всередині область D і її межу L).
Провівши два розрізи (дві дуги) і області D (див. Рис. 8), одержимо нову однозв'язну область D1, обмежену замкненим
Рис. 8 орієнтованим контуром Г, що складається з контурів L, L1, L2 і розрізів і : . За теоремою Коші для однозв'язної області
, але , тому що кожний з розрізів (дуг) і при інтегруванні проходиться двічі в протилежних напрямках. Тому одержуємо: , тобто інтеграл від аналітичної в замкнутій області функції f(z) по мажі області D, що обходиться в додатньому напрямку, дорівнює нулю.
Зауваження. Змінивши напрямок обходу внутрішніх контурів L1 і L2, будемо мати , де всі контури (L, L1 і L2) обходяться в одному напрямку: проти годинникової стрілки (або за годинниковою стрілкою).
Рис. 9 Зокрема, якщо f(z) аналітична в двозв’язній області,
обмеженій контурами L і l і на самих цих контурах (див. рис. 9), то , тобто «інтеграл від функції f(z) по зовнішньому контуру L дорівнює інтегралу від функції f(z) по внутрішньому контуру l» (контури L і l обходять в одному напрямку).
Наслідок 2.1. Якщо f(z) – аналітична функція в однозв'язній області D, то інтеграл від неї не залежить від форми шляху інтегрування, а залежить лише від початкової точки z0 і кінцевої точки z шляху інтегрування.
Дійсно, нехай L1 і L2 – дві криві в області D, що з'єднують точки z0 і z (рис. 10).
За теоремою Коші , тобто , або , звідси
Рис. 10 .
У таких випадках, коли інтеграл залежить тільки від початкової точки і кінцевої точки шляху інтегрування, користуються позначенням . Якщо тут зафіксувати точку z0, а точку z змінювати , то буде функцією від z. Позначимо цю функцію через F(z): . Можна довести, що якщо функція f(z) аналітична в однозв'язній області D, то функція F(z) також аналітична в D, причому
.
Функція F(z) називається первісною для функції f(z) в області D, якщо .
Можна показати, що якщо F(z) є деяка первісна для f(z), то сукупність усіх первісних f(z) визначається формулою F(z)+C, де C=const. Сукупність усіх первісних функцій для f(z) називається невизначеним інтегралом від функції f(z) і позначається символом, тобто , де .
Нехай функція є первісна функція для f(z). Отже, . Поклавши тут , одержимо (контур замкнеться, інтеграл дорівнює нулю). Звідси , а отже,
Отримана формула називається формулою Ньютона-Лейбніца.
Інтеграли від елементарних функцій комплексної змінної в області їх аналітичності обчислюється за допомогою тих же формул і методів, що й у дійсному аналізі.
Так, ; ; і т.д.
Приклад 8. Обчислити інтеграли: а) ; б) , де L є коло радіуса R з центром у точці z0, обхід протів годинникової стрілки (див. рис. 11).
○ а) Теорема Коші незастосовна, тому що функція не аналітична в точці z0. Параметричні рівняння кола L : Рис. 11 , , де . Отже, . Таким чином, ми отримали, що комплексно-параметричне рівняння даного кола є , . Тому за формулою (2.4) отримаємо:
.
б) При маємо:
.
Отже,
, , n – ціле, .