Приклади конформних відображень, що здійснюються деякими елементарними функціями див. Додаток 1.

16.2. Інтегрування функції комплексної змінної

16.2.1 Означення, властивості і правила обчислення інтеграла

Нехай у кожній точці деякої гладенької кривої L з початком у точці z₀ і кінцем у точці z визначена неперервна функція f(z).

Розіб'ємо криву L на n частин (елементарних дуг) у напрямку від z₀ до z точками z₁, z₂,…,z_n-1 (див. рис. 6).

Рис. 6

У кожній «елементарній дузі» z_k-1z_k (k = 1,2,…,n)виберемо довільну точку C_k і складемо інтегральну суму , де .

Границя такої інтегральної суми при прямуванні до нуля довжини найбільшої з елементарних дуг, якщо вона існує, називається інтегралом від функції f(z) по кривій (по контуру) L і позначається символом .

Таким чином,

(2.1)

Покажемо, що якщо L – гладка крива, а f(z) – неперервна й однозначна функція, то інтеграл (2.1) існує.

Дійсно, нехай , , . Тоді

,

.

Тому

= .

Обидві суми, що знаходяться в правій частині останньої рівності, є інтегральними сумами для відповідних криволінійних інтегралів.

При зроблених припущеннях про криву L і функцію f(z) границі цих сум існують. Тому після переходу до границі (в останній рівності) при одержимо:

(2.2)

Формула (2.2) показує, що обчислення інтеграла від функції комплексної змінної зводиться до обчислення криволінійних інтегралів від дійсних функцій дійсних змінних.

Формулу (2.2) можна записати в зручному для запам'ятання вигляді:

(2.3)

Якщо x=x(t), y=y(t), де -параметричні рівняння кривої L, то z=z(t)=x(t)+iy(t) називають комплексним параметричним рівнянням кривої L; формула (2.3) перетвориться у формулу

(2.4)

Дійсно, вважаючи z(t) неперервною і диференційовною функцією, одержуємо:

Наведемо основні властивості інтеграла від функції комплексної змінної.

1. 

2. 

3. , a – комплексне число.

4. , тобто при зміні напрямку шляху інтегрування інтеграл змінює свій знак на протилежний (в інших позначеннях кривої: ) .

5. , де L=L₁+L₂, тобто інтеграл по всьому шляху L дорівнює сумі інтегралів по його частинах L₁ і L₂.

6. Оцінка модуля інтеграла. Якщо у всіх точках кривої L, то , де l – довжина кривої L.

Дійсно,

,

де - довжина ламаної z₀z₁z₂…z_n, вписаної в криву L.

Всі наведені властивості інтеграла функції комплексної змінної безпосередньо випливають з його означення (2.1) і подання (2.2).

Приклад 7. Обчислити , де L – півколо , (див. рис.7).

Розв’язання: Використовуючи формулу (2.3), маємо:

○

.

Рис. 7

Використовуючи формулу (2.4), маємо :

●