3. Ряд Лорана

Теорема 3.4. Всяка аналітична в кільці функція може бути розкладена в цьому кільці в ряд

, (3.11)

коефіцієнти якого обчислюються за формулою

(3.12)

де - довільний круг з центром , що лежить в середині даного кільця.

Ряд (3.11) називається рядом Лорана для функції в розглядуваному кільці.

Візьмемо довільну точку всередині кільця і проведемо два кола та з центрами в точці так, щоб точка була між ними і щоб кожне коло знаходилося всередині даного кільця (див. рис. 15).

Функція аналітична в кільці між колами й та на самих колах. Тому за формулою Коші для рис. 15 багатозв’язної області маємо:

Рис. 15 (3.13)

де обидва кола і обходяться проти годинникової стрілки.

Перетворимо доданки, що стоять у правій частині рівності (3.13), міркуючи, як і при виведенні формули Тейлора.

На колі виконується нерівність , або . Тому дріб можна подати у вигляді

Тоді

Проінтегруєм цю рівність по контуру :

, (3.14)

тобто , де

(тут , тому що функція , можливо, не аналітична в точці ).

На колі маємо , або . Тоді

.

Виходить,

Проінтегруєм цю рівність почленно по контуру L₁:

(3.15)

тобто де

(n = 1,2,3…)...

Поставивши розклад (3.14) та (3.15) у рівність (3.13), отримаємо

Формули для коефіцієнтів c_n і c_-n можна об'єднати, взявши замість контуру L₁ і L₂ будь-яке коло L з центром у точці z₀, що лежить у кільці між L₁ і L₂ (випливає з теореми Коші для багатозв’язної області): (n= 0,1, 2,…)...

Можна довести, що функція f (z), аналітична в даному кільці

r|z-z₀|R, розкладається в ряд Лорана (3.11) єдиним чином.

Ряд Лорана для функції

складається з двох частин. Перша частина ряду Лорана, тобто ряд

називається правильною частиною ряду Лорана; цей ряд збіжний до аналітичної функції f₁(z) усередині круга |z-z₀|<R. Друга частина ряду Лорана, тобто ряд

називається головною частиною ряду Лорана; цей ряд збіжний до аналітичної функції f₂(z) поза кругом .

Усередині кільця ряд збіжний до аналітичної функції f(z)=f₁(z)+ f₂(z).

Зокрема, якщо функція f(z) не має особливих точок усередині круга , то її розклад в ряд Лорана перетворюється в ряд Тейлора.

Зауваження. На практиці при розкладанні функції в ряд Лорана використовують відомі розклади основних елементарних функцій; дріб вигляду розкладається в ряд, що являє собою геометричну прогресію; дріб вигляду , де k>1 — ціле, розкладається в ряд, що отримується з ряду геометричної прогресії послідовним диференціюванням (k-1) раз; складний дріб подається у вигляді суми найпростіших дробів.

Приклад 14. Розкласти в ряд Лорана функцію в околі точки z₀ = 0.

○ Скористаємося відомим розкладом

справедливим на всій комплексній площині. Поклавши , отримаємо

z  0. ●

Приклад 15. Розкласти в ряд Лорана функцію

в околі точки z₀ = 0.

○ Функція має дві особливі точки: і . Вона аналітична в областях: а) ; б) ; в) .

Подамо функцію f(z) у вигляді .

а) У крузі |z|<2 (рис. 16) маємо:

,

.

Отже,

ряд Лорана функції f(z) перетворюється в ряд Тейлора.

Рис. 16 Рис. 17 Рис. 18

б) У кільці (рис. 17) маємо:

(|z| < 3),

(|z| > 2).

Отже,

в) В області |z|>3 (рис. 18) маємо:

(|z|>3),

(|z|>2).

Отже,

●