Вопросы и упражнения для самопроверки:

1. Дайте определение функции.

2. Охарактеризуйте способы задания функции.

3. Что называется областью определения функции?

4. Каков смысл предела функции в точке?

5. Перечислите теоремы о пределах, сравните с формулировками из учебника.

6. Какие замечательные пределы вы знаете?

7. Что такое числовая последовательность? Как найти предел числовой последовательности?

8. Какие функции называются бесконечно малыми и бесконечно большими?

9. Найдите:

а) б)

Производная и ее приложения.

По данной теме изучите §27-30 гл. 6 [2] или §1-17 гл. 5 [3]. Затем ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Ответьте на вопросы и выполните упражнения для самопроверки. Решите следующие задачи: [2] гл. 6 §30 № 6.25 - 6.49 (нечетные) или [4] гл. 5 № 11 - 31, 36 - 39, 67, 71 (1-5).

Из контрольной работы 2 выполните пятое задание своего варианта.

Производная. Понятие производной является одним из важнейших в курсе математики. Многие задачи, как самой математики, так и естествознания и техники приводят к этому понятию.

Производная функции y = f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремиться к нулю:

Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Если y = f(u) и u = φ(x) – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции y = f(φ(x)) существует и равна произведению производной функции y по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента u по независимой переменной x:

Аналогичная формула верна и для сложных функций, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более.

Таблица формул дифференцирования.

1.	c’ = 0	12.	(ln u)’ =
2.	x’ = 1	13.	(logau)’ =
3.	(u ± v)’ = u’ ± v’	14.	(sin u)’ = cos u ∙ u’
4.	(uv)’ = uv’ + vu’	15.	(cos u)’ = - sin u ∙ u’
5.	(cu)’ = cu	16.	(tg u)’ = = sec2 u ∙ u’
6.		17.	(ctg u)’ = -
7.		18.	(arcsin u)’ =
8.	(un)’ = nun-1 u’	19.	(arccos u)’ = -
9.		20.	(arctg u)’ =
10.	(au)’ = au ln a ∙ u’	21.	(arcctg u)’ = -
11.	(eu)’ = eu ln eu’ = euu’

Здесь u и v – дифференцируемые функции от x, а с – постоянная величина.

Пример 1 . Найти производную функции f(x) =

Решение. Дифференцируем функцию по формулам (uⁿ) = nu^n-1u’:

Пример 2. Найти производную функции y = sin³φ и вычислить ее значение при φ = π/3.

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом sinφ. Дифференцируем ее по формулам (uⁿ)’ = nu^n-1 u’ , (sin u)’ = cos u ∙ u’:

f’(φ) = 3sin²φ (sinφ)’ = 3sin²φ cosφ

Вычислим значение производной при φ = π/3:

f’ (π/3) = 3 sin² (π/3) cos (π/3) = 3 ()²∙ (1/2) = 3 ∙ (3/4) ∙ (1/2) = 9/8

Пример 3. Найти производную функции f(x) = ln

Решение. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:

Дифференцируя, получим: