2.1.2. Создание матриц специального вида

В MathCAD легко создать матрицы определенного вида с помощью одной из встроенных функций:

• identity(N) – единичная матрица размера N×N;

• diag(v) - диагональная матрица, на диагонали которой находятся элементы вектора v;

• geninv(A) – создание матрицы, обратной (слева) матрице A;

• rref(A) – преобразование матрицы или вектора A в ступенчатый вид.

В перечисленных функциях N – целое число, v – вектор, A – матрица из действительных чисел.

Задание 17. Реализуйте следующие примеры и проанализируйте полученные результаты:

2.2. Слияние и разбиение матриц

Из матрицы или вектора можно выделить либо подматрицу, либо вектор-столбец, либо отдельный элемент. Можно, наоборот, “склеить” несколько матриц в одну.

2.2.1. Выделение части матрицы

Часть матрицы выделяется одним из следующих способов:

1. Для выделения одного элемента предназначен оператор нижнего индекса. Оператор можно ввести с помощью кнопки Subscript (Нижний индекс) на палитре Matrix (Матрицы).

2. Для выделения из матрицы столбца применяется оператор Matrix Column (Столбец матрицы) той же палитры.

3. Чтобы выделить из матрицы строку можно применить оператор M^<> палитры Matrix (Матрицы) к транспонированной матрице.

4. Для выделения подматрицы используется встроенная функция submatrix (A, ir, jr, ic, jc), возвращающая часть матрицы A, находящуюся между строками ir, jr и столбцами ic, jc включительно.

Задание 18. Реализуйте следующие примеры и проанализируйте полученные результаты:

2.2.2. Слияние матриц

Для того чтобы составить из двух или более матриц одну, в MathCAD предусмотрены функции:

• augment(A,B,C,…) – матрица, сформированная слиянием матриц-аргументов слева направо;

• stack(A,B,C,…) - матрица, сформированная слиянием матриц-аргументов сверху вниз.

Здесь A,B,C,… - векторы или матрицы соответствующего размера.

Задание 19. Реализуйте следующие примеры и проанализируйте полученные результаты:

2.3. Сортировка матриц

MathCAD содержит несколько встроенных функций, которые позволяют гибко управлять сортировкой матриц:

1. sort(v) – сортировка элементов вектора в порядке возрастания.

2. csort(A,i) – сортировка строк матрицы выстраиванием элементов i-го столбца в порядке возрастания.

3. rsort(A,i) - сортировка столбцов матрицы выстраиванием элементов i-й строки в порядке возрастания.

4. reverse(v) – перестановка элементов вектора в обратном порядке.

Здесь v – вектор, A – матрица, i – индекс строки или столбца.

Задание 20. Реализуйте следующие примеры и проанализируйте полученные результаты:

2.4. Вывод размера матриц

Для получения сведений о характеристиках матриц или векторов предусмотрены следующие встроенные функции:

1. rows(A) – число строк;

2. cols(A) – число столбцов;

3. length(v) – число элементов вектора;

4. last(v) – индекс последнего элемента вектора.

Здесь A – матрица или сектор, v – вектор.

Задание 21. Реализуйте следующие примеры и проанализируйте полученные результаты:

2.5. Норма квадратной матрицы

В линейной алгебре используются различные матричные нормы, которые ставят в соответствие матрице некоторую скалярную числовую характеристику. Норма матрицы отражает порядок величины матричных элементов. В разных специфических задачах линейной алгебры применяются различные виды норм. MathCAD имеет четыре встроенные функции для расчета норм квадратных матриц:

1. norm1(A) – норма в пространстве L1;

2. norm2(A) - норма в пространстве L2;

3. norme(A) – евклидова норма;

4. normi(A) – max-норма, или ∞ -норма;

Задание 22. Реализуйте следующие примеры и проанализируйте полученные результаты: