1.9. Обратная матрица

Поиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная, и ее определитель не равен нулю. Произведение исходной матрицы на обратную по определению является единичной матрицей. Для ввода оператора поиска обратной матрицы используется кнопка Обратная матрица (Inverse) на палитре Матрицы (Matrix).

Задание 10. Для матрицы A получите обратную матрицу:

.

Получите единичную матрицу, умножив исходную матрицу на обратную:

1.10. Возведение матрицы в степень

К квадратным матрицам можно формально применить операцию возведения в степень n. Для этого n должно быть целым числом. Выполнение этой операции организуется с помощью кнопки Возведения в степень (Raise to Power) на палитре Арифметика (Calculator).

Задание 11. Реализуйте следующие примеры:

1.11. Векторизация массивов

Векторная алгебра MathCAD включает несколько необычный оператор, который называется оператором векторизации. Этот оператор предназначен для работы с массивами. Он позволяет провести однотипную операцию над всеми элементами массива, упрощая тем самым программирование циклов. (Например, когда требуется умножить каждый элемент одного массива на соответствующий элемент другого). Непосредственно такой операции в MathCAD нет, но ее легко осуществить с помощью векторизации.

Задание 12.

1. Получите скалярное произведение:

2. С помощью кнопки Задать вектор (Factorize) на палитре Матрица (Matrix) проведите векторизацию:

3. Проанализируйте полученные результаты.

Оператор векторизации можно использовать только с векторами и матрицами одинакового размера.

1.12. Символьные операции с матрицами

Все матричные и векторные операторы допустимо использовать в символических вычислениях. Мощь символьных операций заключается в возможности проводить их не только над конкретными числами, но и над переменными.

Задание 13. Реализуйте следующие примеры. Запишите название каждой операции.

2. Матричные функции

Эти встроенные функции предназначены для облегчения работы с векторами и матрицами. Их можно использовать для создания матриц, слияния, и выделения части матриц, получения основных свойств матриц и т.д.

2.1. Функции создания матриц

Самым наглядным способом создания матрицы или вектора является использования палитры Матрицы (Matrix). Однако в ряде случаев, в частности при программировании сложных процессов, удобнее создавать массивы с помощью встроенных функций.

2.1.1. Определение элементов матрицы через функцию

Для создания матрицы можно использовать встроенную функцию

matrix(M,N,f) – создание матрицы размера M×N, каждый i,j элемент которой есть функция f(i,j). Обратиться к этой функции можно из диалогового окна Встроенные функции, которое появляется, ели на панели инструментов Стандартные выбрать команду Вставить функцию.

Задание 14. Построить матрицу, содержащую две строки и три столбца:

Для создания матриц имеются еще две специфические функции, применяемые, в основном, для быстрого и эффективного представления каких-либо зависимостей в виде трехмерных графиков (типа поверхности или пространственной кривой).

Функция СreateSpace(F(или f1,f2,f3), t0, t1, tgrid, fmap) - для создания вложенного массива, представляющего x, y и z координаты параметрической пространственной кривой, заданной функцией F:

• F(t) – векторная функция из трех элементов, заданная параметрически относительно единого аргумента t;

• f1(t), f2(t), f3(t) – скалярные функции;

• t0 – нижний предел t (по умолчанию -5);

• t1 – верхний предел t (по умолчанию 5);

• tgrid – число точек сетки по переменной t (по умолчанию 20);

• fmap – векторная функция от трех аргументов, задающая преобразование координат.

Задание 15. Реализуйте примеры, приведенные на рис.35, используя встроенную функцию СreateSpace. Для этого выполните следующие операции:

1. Запишите векторную функцию F(t).

2. На палитре Графики выберите трехмерный точечный график.

3. В местозаполнитель графика введите встроенную функцию СreateSpace(F).

4. Повторите построение графика верхний и нижний пределы аргумента и число точек.

Рис. 36. Использование функции СreateSpace с разными наборами параметров

Функция создания матрицы для графика трехмерной поверхности устроена совершенно аналогично, за тем исключением, что для определения поверхности требуется не одна, а две переменных.

СreateMesh(F(или g, или f1,f2,f3), s0, s1, t0, t1, sgrid, tgrid, fmap) - для создания вложенного массива, представляющего x, y и z координаты параметрической пространственной кривой, заданной функцией F:

• F(s,t) – векторная функция из трех элементов, заданная параметрически относительно двух аргументов s и t;

• g(s,t) - скалярная функция;

• f1(s,t), f2(s,t), f3(s,t) – скалярные функции;

• s0, t0 – нижние пределы аргументов s, t (по умолчанию -5);

• s1, t1 – верхние пределы аргументов s, t (по умолчанию 5);

• sgrid, tgrid – число точек сетки по переменным s и t (по умолчанию 20);

• fmap – векторная функция от трех аргументов, задающая преобразование координат.

Задание 16. Реализуйте примеры, приведенные на рис.35, используя встроенную функцию СreateMesh. Для получения поверхностного графика необходимо в диалоговом окне Формат 3-D графика на вкладке Общие выбрать переключатель Поверхностный график.

Рис. 37. Использование функции СreateMesh с разным набором параметров