matan_3sem2015_pilot
.pdfЛекция 8 по матанализу
Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко
для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко
28 сентября 2015 г.
Признак Абеля
P |
На прошлой лекции мы остановились на утверждении о том, что если |
||||||||
1 |
x |
è |
fbn(x)gn1=1 монотонна (8x |
2 X |
|
||||
|
) равномерно ограниченная |
||||||||
n=1 an(x) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
последовательность, то |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
X |
n |
|
M |
|
|
|
|
|
|
a |
|
(x)bn(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
AM (x) = |
an(x) |
|
|||
n+p |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+p 1 |
X ak(x)bk(x) |
|
6 jAn+p(x)bn+p(x)j+jAn 1(x)bn(x)j+ |
X jAk(x)jbk(x) bk+1(x)j |
|
|
|
|
|
|
|
|
k=n |
k=n |
Найдем C > 0 такое, что
8x 2 X 8n 2 N: jbn(x)j < C
Зафиксируем произвольное " > 0. В соответствии с критерием Коши
9 N 2 N: 8n > N; 8p 2 Z+ 8x 2 X :
|
n+p |
ak(x) < 100C |
|
k=n |
|
" |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для k > N через Ak(x) обозначим
aN+1(x) + aN+2(x) + + ak(x):
Тогда для любого n > N + 1, для любого p 2 Z+ и для любого x 2 X мы можем повторить преобразование Абеля и это выражение будет оцениваться сверху как
" |
" |
|
" n+p 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
kX |
|
6 100 + 100 + |
100 |
jbk(x) bk+1(x)j < " |
=n
Получаем, что равномерная сходимость доказана.
Записки могут содержать ошибки.
1
Ключевые результаты для степенных рядов используют теорему Абеля.
Определение. Непустая система B подмножеств X называется базой, åñëè
1)? 2= B.
2)8B1; B2 2 B 9B3 2 B: B3 B1 \ B2
Определение. Число A называется пределом функции f ïî áàçå B, если для любого " > 0 существует B 2 B, что
8x 2 B jf(x) Aj < "
Обозначается
lim f = A
B
Теорема. Существование предела функции f по базе B равносильно тому,
÷òî
8" > 0 9 B 2 B: 8x; x~ 2 B jf(x) f(~x)j < "
) уже доказано.
(построили элементы базы B1; B2; B3; : : :, ÷òî
1)B1 B2 B3
2)8y; y~ 2 Bn : jf(y) f(~y)j < n1
|
Зафиксируем произвольные |
xn 2 Bn (n = 1; 2; 3; : : :). Покажем, что |
||||||||
f |
f(x ) 1 |
функциональная последовательность. Зафиксируем произ- |
||||||||
n gn=1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
вольный " > 0. Найдем N 2 N: |
|
< ". |
|
|
|
|
|
|
||
N |
|
|
|
|||||||
|
Возьмем произвольные n; m > N. Тогда xn 2 Bn BN , xm 2 Bm BN . |
|||||||||
|
Следовательно существует предел |
|
|
|
||||||
|
|
lim f(xn) =: A |
|
|
|
|||||
|
|
n!1 |
|
|
|
|||||
Покажем, что |
9 lim f = A |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
B |
|
|
|
|||
|
Зафиксируем произвольное " > 0. Для "1 = 2" . Найдем B 2 B: |
|||||||||
|
|
8x; x~ 2 B: jf(x) f(~x)j < "1: |
|
|
|
|||||
Найдем |
|
" |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
N 2 N: jf(xN ) Aj < "1 = |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
" |
|
|||||
|
8x 2 BN : jf(x) Aj 6 jf(x) f(xN )j + jf(xN ) Aj < |
|
+ |
|
< " |
|||||
|
N |
2 |
2
Пусть X множество, B база на X, Y множество, D база на Y . Пусть h(x; y): X Y ! R.
Пусть также
8x 2 X 9 lim h(x; y) = f(x)
D
8x 2 X 9 lim h(x; y) = f(x)
D
Вопрос состоит в том, при каких условиях
lim f(x) = lim g(y);
BD
то есть можно менять повторные пределы:
lim lim h(x; y) = lim lim h(x; y)
B D D B
Теорема (критерий Маркова Гордона). Повторные пределы limB f(x)
è limD g(y) существуют и равны тогда и только тогда, когда
8" > 0 9 B" 2 B:
8x 2 B" 9 Dx 2 D:
8y 2 Dx : jh(x; y) g(y)j < "
): Пусть существует limB f(x) = limD g(y) =: A. Зафиксируем произвольный " > 0. Найдем
B" 2 B: 8x 2 B" : jf(x) Aj |
< |
" |
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
||
D" 2 D: 8x 2 D" : jg(y) Aj |
< |
" |
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|||
~ |
~ |
|
|
" |
Возьмем произвольный x 2 B". Найдем Dx : 8y 2 |
Dx jh(x; y) f(x)j < |
3 . |
2 D \ ~ . Тогда 8 2 Найдем Dx : Dx D" Dx y Dx.
???
(: Докажем сначала, что существует предел функции f(x) по базе B.
Чтобы это доказать, воспользуемся критерием Коши. Для этого нам нужно оценивать jf(x) f(~x)j:
jf(x) f(~x)j 6 jf(x) h(x; y)j+jh(x; y) g(y)j+jg(y) h(~x; y)j+jh(~x; y) f(~x)j
Зафиксируем произвольное " > 0. Для "1 = 4" найдем B" 2 B из условия Маркова-Гордона.
Пусть x; x~ произвольные точки B"1 . Найдем
Dx 2 D: 8y 2 Dx : jh(x; y) g(y)j < "1
Dx~ 2 D: 8y 2 Dx~ : jh(~x; y) g(y)j < "1
9 |
~ |
: 8y 2 |
~ |
: jh(x; y) f(x)j < "1 |
Dx |
Dx |
|||
9 |
~ |
: 8y 2 |
~ |
: jh(~x; y) f(~x)j < "1 |
Dx~ |
Dx~ |
3
???
В соответствии с критерием Коши 9 limB f(x) =: A. Осталось доказать, что 9 limD g(y) = A.
jg(y) Aj 6 jg(y) h(x; y)j + jh(x; y) f(x)j + jf(x) Aj
" |
|
|
|
" > 0. Найдем B 2 B: 8x 2 B : jf(x) Aj < |
" |
||
|
|
|
3 . |
||||
Зафиксируем произвольное |
|
|
|||||
Äëÿ "1 = 3 |
. Найдем B"1 2 B из условия Маркова-Гордона. Зафиксируем |
||||||
произвольный x 2 B \ B"1 . Найдем |
|
||||||
|
|
|
|
|
Dx 2 D: 8y 2 Dx : jh(x; y) g(y)j < "1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
Для этого фиксированного x найдется Dx элемент базы D, что для каждого |
|||||||
элемента |
|
??? |
|
|
|
|
4
Лекция 9 по матанализу
Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко
для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко
2 октября 2015 г.
X
У нас было определение равномерной сходимости fn(x) f(x):
8" > 0 9 N 2 N: 8n > N; 8x 2 X : jfn(x) f(x)j < "
f(x; y): X Y ! R
8x 2 X 9 lim h(x; y) = f(x)
D
8y 2 Y 9 lim h(x; y) = g(y)
lim f(x) = lim g(y) , 8" > 0 9 B" 2 B8x 2 B" 9Dx 2 D : 8y 2 Dx : jh(x; y) g(y)j < "
B
Теорема. Предположим, что fn(x) f(x) и для каждого натурального n существует предел limx!b 0 fn(x) = an. Тогда limn!1 an = limx!b 0 f(x).
Мы будем использовать критерий Маркова-Гордона:
8" > 0 9 N 2 N 8n > N9 > 0: 8x 2 (b ; b): jfn(x) f(x)j < "
Из определения равномерной сходимости следует, что искомая существует. Мы можем даже взять в качестве число b a.
Теорема. Пусть I невырожденный (не пустой и не точка) промежуток
R, fn(x) 2 C(I),
I
fn(x) f(x):
Тогда f(x) 2 C(I).
Теорема о непрерывности равномерного предела. Предположим,
(a;b)
÷òî fn(x) f(x) è
8n 2 N 9 lim fn(x) = an
x!b 0
Тогда limn!1 an = limx!b 0 f(x).
Записки могут содержать ошибки.
1
Теорема об интегрируемости равномерного предела. Пусть n 2
N; fn(x) 2 R[a; b] è |
ab fn(x)dx = |
|
[a;b] |
||||||
In. Пусть также fn(x) f(x). Тогда |
|||||||||
|
|
|
R |
a f( R |
n |
|
|
n |
|
f(x) |
2 |
R[a; b] è |
b |
x)dx = lim |
|
!1 |
I . |
||
|
|
|
|
|
|
Докажем сначала, что последовательность fIng фундаментальна. Зафиксируем произвольное " > 0. Для "1 = b "a найдем N 2 N:
8n; m > N 8x 2 [a; b] jfn(x) fm(x)j < "
Тогда
jIn Imj = |
|
ab fn(x)dx |
ab fm(x)dx 6 |
ab jfn(x) fm(x)jdx |
|
Z |
Z |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подынтегральная функция в каждой точке меньше "1, поэтому интеграл не превосходит "1(b a) = ".
Через I обозначим предел lim |
I . Докажем, что |
R |
b f(x)dx = I. |
||||
|
n!1 n |
|
|
2 |
|
" |
|
Зафиксируем произвольное " > 0. Для " |
1 |
= |
" |
найдем натуральный |
|||
|
|
|
|
номер n1, что для любого x 2 [a; b] выполняется, что jf(x) fn(x)j < b a . Значит, найдется n2 2 N, ÷òî 8n > N2 разность jIn Ij < "1.
n := maxfN1; N2g + 1
Тогда 9 > 0: для любого (T; ) отмеченное разбиение [a; b] с диаметром, не большем :
j (fn; T; ) Inj < "1
Тогда для любого отмеченного разбиения (T; ) отрезка [a; b] с диаметром, меньшим :
j (f; T; ) Ij = j (f; T; ) (fn; T; )j + j (fn; T; ) Inj + jIn Ij
n |
(f( i) fn( i))j ij |
6 |
|
"1 |
|
n |
j ij = "1 = "1 < 3"1 6 " |
b |
a |
i=1 |
|||||
i=1 |
|
|
|
|
|
||
X |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть есть отрезок [0; 1] и все функции живут на нем. Покажем, что
поточечной сходимости недостаточно. Пример: набор функций ffng, ôóíê-
0; 21i , в остальных точках функция будет равна нулю. При этом поточечным пределом будет
функция, тождественно равная нулю.
Теорема. Пусть I ограниченный невырожденный промежуток R, fn(x) 2 C1(I) непрерывно дифференцируема:
I
fn0 (x) g(x)
В некоторой точке xi 2 I: ffn(x0)g1n=1 сходится.
Тогда fn(x) равномерно на I сходится к f(x), f(x) 2 C1(I) è f0(x) = g(x) íà I.
2
Через A обозначим предел limn!1 fn(x0) в некоторой точке x0,
Z x
f(x) := A + g(x)dx
x0
fn0 2 C(I)
I
Осталось доказать, что fn(x) f(x). Зафиксируем произвольное " > 0.
Найдем N1 2 N, что для любого n > N1: jfn(x0) Aj < 2" . Тогда 8n > maxfN1; N2g, 8x 2 I:
jfn(x) f(x)j = |
|
x |
|
x |
g(t)dt |
6 |
fn(x0) + Zx0 f |
0(t)dt A Zx0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
Z |
|
fn0 (t) g(t)dt |
|
|
6 jfn(x0) Aj + |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0
3
Лекция 10 по матанализу
Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко
для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко
5 октября 2015 г.
В прошлый раз мы сформулировали и доказали результаты о свойствах равномерно сходящихся последовательностей. Они легко переносятся на функциональные ряды.
Утверждение 1. Пусть 8n 2 N существует предел limx!b 0 fn(x) = an è
1 |
(a;b) |
X |
|
fn(x) F (x):
|
|
|
n=1 |
|
Тогда |
|
|
1 |
. |
Или, по-другому |
P |
|
||
|
9 |
limx!b 0 F (x) = |
n=1 an |
|
11
XX
lim |
fn(x) = |
lim fn(x) |
x!b 0 n=1 |
|
n=1 x!b 0 |
Теорема 1. Пусть I невырожденный промежуток R, для каждого на-
турального n функция fn является непрерывной и F (x) также является непрерывной.
Теорема 2. Пусть для каждого n 2 N функция ману на отрезке [a; b] и
I
P
fn(x) F (x). Тогда
fn интегрируема по Ри-
1 |
[a;b] |
X |
|
fn(x) F (x):
n=1
Тогда F (x) также интегрируема по Риману и
b 1 |
Za |
b |
1 |
b |
Za n=1 fn(x)dx = |
|
F (x)dx = n=1 Za |
fn(x)dx |
|
X |
|
|
X |
|
Теорема 3. Пусть I ограниченный невырожденный промежуток, для любого натурального n функция fn непрерывно дифференцируема на I,
I |
P |
P |
|
fn g(x) и по крайней мере в одной точке x0 2 I сумма |
fn(x) сходит- |
ñÿ. |
|
Записки могут содержать ошибки.
1
P1
I
Тогда n=1 fn(x) , его сумма F (x) непрерывно дифференцируема и
F 0(x) = g(x) íà I.
Или, по-другому
1 !0 1
XX
fn(x) = fn0 (x)
n=1 n=1
Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
1
X
cn(x x0)n
n=0
fcng коэффициенты степенного ряда, x0 центр степенного ряда. Дальше будем считать, что x0 = 0.
Далее мы будем рассматривать степенной ряд
1
X
cnxn
n=0
Теорема Абеля. Предположим, что степенной ряд сходится в точке x0.
Тогда он сходится (абсолютно) во всех точках x, для которых jxj < jx0j. |
|||||||||||||||||||||
|
Òàê êàê |
|
1 |
n |
|
|
|
n |
|
|
|
> |
|
j |
|
n |
0 j 6 |
|
|||
|
|
Pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
n=0 cnx0 сходится, то cnx0 стремится к нулю. Следователь- |
|||||||||||||||||||
но, существует C , что для любого натурального n |
|
|
|
1 имеем |
|
C xn C. |
|||||||||||||||
Тогда для любого x, по модулю меньшим x0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
jcnxnj = jcnx0nj |
|
x |
|
n |
|
x |
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x0 |
|
6 C x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
n |
сходится |
абсолютно. |
|
|
|
||||||||
Òàê êàê PC x0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
сходится, то Pn=0 cnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вторая теорема |
Абеля. Предположим, что данный ряд сходится в точ- |
êå x0, то он сходится равномерно на отрезке с концами 0 и x0 (число x0 íå обязательно должно быть положительным).
Пусть x принадлежит отрезку с концами 0 и x0 (обозначим его ).
Тогда |
1 |
1 |
|
x |
|
n |
|
|
|||||
|
n=0 cnxn = n=0 cnx0n |
x0 |
|
|||
|
X |
X |
|
|
|
|
1
X cnxn0
n=0
n
x |
монотонная равномерно ограниченная последовательность. |
|
x0 |
||
|
Значит, по признаку Абеля, ряд P1 cnxn .
n=0
2
Третья теорема Абеля. Предположим, что этот степенной ряд сходится
âточке x0 абсолютно. Тогда он равномерно сходится на [ jx0j; jx0j].
Äëÿ x 2 [ jx0j; jx0j]
jcnxnj 6 jcnj jx0jn;
1
X
jcnj jx0jn
n=0
сходится. Остается использовать признак Вейерштрасса. |
|
|
|
Определение. |
Радиусом сходимости степенного ряда называется число |
||
|
1 |
: |
|
R = sup (jxj: n=0 cnxn сходится в точке x) |
|
||
|
X |
|
|
Замечание 1. |
Степенной ряд сходится абсолютно на интервале |
( R; R) |
èрасходится вне отрезка [ R; R].
Пусть x 2 ( R; R). Найдется x0, ÷òî jx0j > jxj è Pcnxn0 сходится. Следовательно, по первой теореме Абеля, в точке x рад сходится абсолютно.
Примеры. Можно реализовать все комбинации сходимости/расходимости в концах интервала сходимости: P xn P xn Pxn.
n2 , n ,
Определение. Интервал ( R; R) называется интервалом сходимости степенного ряда.
Замечание 2. На любом отрезке, входящем в множество сходимости степенного ряда, этот ряд сходится равномерно.
1)[a; b] ( R; R). Найдем x0 2 ( R; R): [a; b] [ xa; xb] ???
2)Если один из концов отрезка (не умаляя общности допустим, что это
правый конец) попал в отрезок [a; b], то есть b = R, то ???
Следствие. Сумма степенного ряда непрерывно на множестве сходимости.
Обозначим
p
A := lim n jcnj:
n!1
pp
lim n jcnxnj = jxj lim n jcnj = jxj A
n!1 n!1
Следствие (формула Коши-Адамара).
R = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
limn!1 n jcnj
3