matan_3sem2015_pilot

Лекция 23 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко

30 ноября 2015 г.

На прошлой лекции мы доказали следующую теорему:

Теорема. Пусть f ограничена на непустом измеримом множестве A. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1)f интегрируема по Риману на A.

(2)I = I .

(3)Для любого " > 0 существует T разбиение A, что

S (f; T ) S (f; T ) < ":

Докажем, что эти условия также эквивалентны условию

(4)Для любого " > 0 существует > 0, что для любого разбиения T с диаметром, меньшим

S (f; T ) S (f; T ) < "

(1) ) (4). Возьмем произвольное " > 0. Найдем > 0, что для любого

Следствие 1. В одномерном случае старое и новое определение интеграла Римана эквивалентны друг другу.

Записки могут содержать ошибки.

1

Следствие 2. Пусть f ограничена на множестве A и интегрируема по Риману на нем, а B непустое измеримое подмножество A. Тогда f интегрируема на B.

Возьмем произвольное " > 0. Используя критерий Дарбу, найдем такое > 0, что для любого разбиения T с диаметром, меньшим

S (f; T ) S (f; T ) < "

Возьмем произвольное разбиение T1 множества B с diam T1 < , и разбиение T2 множества A n B с diam T2 < . Положим T := T1 [ T2, заметим, что diam T < . Тогда

S (f; T1) S (f; T1) 6 S (f; T ) S (f; T ) < ":

По следствию (3) ) (1) критерия Дарбу, f интегрируема на B.

Следствие 3. Пусть f ограничена и интегрируема на непересекающихся множествах A и B. Тогда f интегрируема на A [ B и

Z Z Z

f dx = f dx + f dx

A[B A B

Возьмем произвольное " > 0. Найдем разбиение T1 множества A, что

Существует 1 > 0, что для любого отмеченного разбиения (T; ) множества

A ñ diam T < 1

j (f; T; ) IAj < ":

Существует 2 > 0, что для любого отмеченного разбиения (T; ) множества

B ñ diam T < 2

j (f; T; ) IBj < ":

Существует 3 > 0, что для любого отмеченного разбиения (T; ) множества

A [ B ñ diam T < 3

j (f; T; ) Ij < ":

Положим := minf 1; 2; 3g.

2

Возьмем (T1; 1) отмеченное разбиение множества A с diam T1 < . (T2; 2) отмеченное разбиение множества B с diam T1 < .

T := T1 [ T2 = 1 [ 2

(T; ) отмеченное разбиение A [ B с diam T <

(f; T; ) = (f; T1; 1) + (f; T2; 2)

jI (IA + IB)j = jI (f; T; ) + (f1; T1; 1) + (f; T2; 2) IA IBj < 3":

В силу произвольности "

òàê êàê

jf2(x1) f2(x2)j = jf(x1) f(x2)j jf(x1) + f(x2)j 6 (Mj mj)2C:

Тогда

S (f2; T ) S (f2; T ) 6 (S (f; T ) S (f; T )) 2C:

Возьмем произвольное " > 0. Найдем разбиение T множества A, что

S (f; T ) S (f; T ) < 2"C :

Но тогда

S (f2; T ) S (f2; T ) < ";

Теорема (будет доказана на следующей лекции). Пусть f ограни- чена на A и непрерывна на A (за исключением, быть может, точек, образующих множество меры 0). Тогда f интегрируемо по Риману на множестве

A.

3

Лекция 24 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко

4 декабря 2015 г.

Теорема. Пусть A непустое измеримое множество, f ограничена на A

èнепрерывна на A всюду за исключением точек, образующих множество меры нуль. Тогда f интегрируемо по Риману на множестве A.

Доопределим f нулем на точках границы A, не входящих в A. Тогда рассмотрим замыкание A множества A. Тогда функция f ограничена

èнепрерывна на A, за исключением точек, образующих множество меры 0 (так как A измеримо и (@A) = 0).

Достаточно доказать, что f интегрируема на A. Зафиксируем произвольное " > 0. Найдем C > 0: jfj < C на A. Пусть B = @A [X, где X это

множество точек разрыва функции f. Тогда B = 0. Найдем 1; : : : ; k совокупность открытых брусов, что B SKk=1 k, P k < 4"C .

Пусть x 2 AnB внутренняя точка непрерывности. Тогда 9 > 0 8x~ 2

B (x): jf(~x) f(x)j < "

4( A)+1 .

Найдем Px открытый брус, содержащий x и лежащий в B (x):

j1 ; : : : ; jl ; Px1 ; : : : ; Pxm

Построим разбиение A:

A1 := j1 \ A A2 := j2 \ A n A1

A3 := ( j3 \ A) n (A1 [ A2)

Al+m = (Pxm \ A) n (A1 [ [ Al+m 1)

Построим A1; : : : ; Am+l разбиение A. Обозначим его через T .

m+l

X

S (f; T ) S (f; T ) = (Mj mj) Aj =

j=1

Записки могут содержать ошибки.

1

Определение. Множество X Rn называется множеством меры 0 по Лебегу, åñëè 8" > 0 9 f jg не более, чем счетная, совокупность брусов

SP

X j i è j < ".

Определение. Функция f называется непрерывной почти всюду на A, если множество точек разрыва f на A имеет меру 0 по Лебегу.

Теорема (критерий Лебега). Пусть A непустое измеримое множество и f ограничена на A. Тогда следующие условия эквивалентны:

â Rm ( 1 2 áðóñ â Rn+m) и f(x; y) интегрируема на 1 2. Äëÿ

фиксированного y0 2 2 функция f(x; y0) определена на 1. Через I (y0) обозначим нижний интеграл Дарбу этой функции, а через I (y0) верхний.

Тогда Z Z Z

f(x; y)dx dy = I (y) dy = I (y)dy

1 2 2 2

Зафиксируем произвольное " > 0. Найдем > 0, что для любого разбиения T множества 1 2 с диаметром, меньшим

S (f; T ) S (f; T ) < "

Найдем разбиение A = fAigni=1 бруса 1 и разбиение B = fBjgmj=1 бруса2 такие, что diamfAi Bjg < (можно считать, что Ai, Bj брусы).

2

Лекция 25 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко

7 декабря 2015 г.

Мы остановились на доказательстве теоремы Фубини. У нас было произведение брусов 1 2 Rn+m и функция f(x; y), интегрируемая на

1 2. Тогда утверждалось, что

Z Z Z

f(x; y)dx dy = I (y) dy = I (y)dy

1 2 2 2

Мы фиксировали произвольный " > 0 и находили > 0, что для любого отмеченного разбиения 1 2 с диаметром diam T <

j (f; T; ) Ij < "

I " < (f; T; ) < I + "

I " 6 S (f; t) 6 S (f; T ) 6 I + "

I" 6 S (f; fAi Bjg) 6 (I ; fBjgj) 6 S (f; fAi Bjg) 6 I + "

Записки могут содержать ошибки.

1

Неравенства выполнены при всех j 2 Bj.

I" 6 S (I ; fBjg) 6 S (I ; fBjg) 6 I + "

Z

I " 6 S (I ; fBjg) 6 I (y)dy 6 S (I ; fBjg) 6 I + "

область в Rn с координатами в переменных x: (x1; : : : ; xn), Dt область в Rn с координатами в переменных t: (t1; : : : ; tn).

Пусть имеется взаимно-однозначное непрерывно-дифференцèруемое отоб-

обращается в нуль.

Пусть Et подмножество Dt, что его замыкание лежит в Dt. Обозначим Ex := x(Et). Также потребуем, чтобы замыкание Ex лежало в Dx.

Тогда утверждается, что

1)Множество Et измеримо тогда и только тогда, когда Ex измеримо.

2)Пусть Et измеримо, f(x) ограничена на Ex. Тогда f(t) интегрируема

2

Определение. Кривая x(t) называется гладкой, если она непрерывно дифференцируема и x0(t) не обращается в нуль.

3

Лекция 26 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко

11 декабря 2015 г.

Определение. Кривой в Rn называется непрерывное отображение x(t): [a; b] !

Rn.

Кривая x(t) называется гладкой, если для любого t 2 [a; b] существует и

ZZ b

a

Свойства.

Пусть f jgJj=1 разбиение [a; b]. Это разбиение индуцирует разбиение

1

Определение. Пусть x(t): [a; b] ! Rn è ( ): [ ; ] ! Rn гладкие

кривые. Они называются эквивалентными, если существует непрерывнодифференцируемое монотонное отображение t( ): [ ; ] ,! [a; b] с t0( ) íå

обращающимся в нуль:

( ) = x(t( ))

Говорят, что t( ) сохраняет ориентацию кривой , åñëè t( ) = a, t( ) = b è изменяет ориентацию кривой , åñëè t( ) = b, t( ) = a.

Утверждение. Замена кривой на эквивалентную не изменяет значение интеграла первого рода.

Если t( ) не изменяет ориентацию, то

=f( (t)) 012( ) + + 0n2( ) d

Пусть x(t) гладкая кривая, := x([a; b]), на задана векторная функция (векторное поле)

F (x) = (F1(x); : : : ; Fn(x))

Определение. Криволинейным интегралом 2 рода F по (x(t)) называ-

Если F поле сил, то криволинейный интеграл определяет работу, осуществляемую этим полем при перемещении водль от начала к концу.

Обозначения.

2