matan_3sem2015_pilot

Лекция №8 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *

28 сентября 2015 г.

Признак Абеля

последовательность, то

∑

( ) ( )

∑

( ) = ( )

=1

N: | ( )| <

Зафиксируем произвольное > 0. В соответствии с критерием Коши

N: > , Z+ :

+1( ) + +2( ) + · · · + ( ).

Тогда для любого > + 1, для любого Z+ и для любого мы можем повторить преобразование Абеля и это выражение будет оцениваться сверху как

=

Получаем, что равномерная сходимость доказана.

*Записки могут содержать ошибки.

1

Ключевые результаты для степенных рядов используют теорему Абеля.

Определение. Непустая система подмножеств называется базой, åñëè

1)? / .

2)1, 2 3 : 3 1 ∩ 2

Определение. Число называется пределом функции по базе , если для любого > 0 существует , что

| ( ) − | <

Обозначается

lim =

Теорема. Существование предела функции по базе равносильно тому,

÷òî

> 0 : , ~ | ( ) − (~)| <

уже доказано.

построили элементы базы 1, 2, 3, . . ., ÷òî

1)1 2 3 · · ·

2), ~ : | ( ) − (~)| < 1

2

Пусть множество, база на , множество, база на . Пусть ( , ): Ч → R.

Пусть также

lim ( , ) = ( )

lim ( , ) = ( )

Вопрос состоит в том, при каких условиях

lim ( ) = lim ( ),

то есть можно менять повторные пределы:

lim lim ( , ) = lim lim ( , )

Теорема (критерий Маркова–Гордона). Повторные пределы lim ( )

и lim ( ) существуют и равны тогда и только тогда, когда

∩ ~ . Тогда Найдем : .

??? : Докажем сначала, что существует предел функции ( ) по базе .

Чтобы это доказать, воспользуемся критерием Коши. Для этого нам нужно оценивать | ( ) − (~)|:

| ( )− (~)| 6 | ( )− ( , )|+| ( , )− ( )|+| ( )− (~, )|+| (~, )− (~)|

Зафиксируем произвольное > 0. Для 1 = 4 найдем из условия Маркова-Гордона.

Пусть , ~ произвольные точки 1 . Найдем

: : | ( , ) − ( )| < 1

˜ : ˜ : | (~, ) − ( )| < 1

3

???

В соответствии с критерием Коши lim ( ) =: . Осталось доказать, что lim ( ) = .

| ( ) − | 6 | ( ) − ( , )| + | ( , ) − ( )| + | ( ) − |

4

Лекция №9 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *

2 октября 2015 г.

У нас было определение равномерной сходимости ( ) ( ):

> 0 N: > , : | ( ) − ( )| <

( , ): × → R

lim ( , ) = ( )

lim ( , ) = ( )

lim ( ) = lim ( ) > 0 : : | ( , )− ( )| <

Теорема. Предположим, что ( ) ( ) и для каждого натурального существует предел lim → −0 ( ) = . Тогда lim →∞ = lim → −0 ( ).

Мы будем использовать критерий Маркова-Гордона:

> 0 N > > 0: ( − , ): | ( ) − ( )| <

Из определения равномерной сходимости следует, что искомая существует. Мы можем даже взять в качестве число − .

Теорема. Пусть невырожденный (не пустой и не точка) промежуток

R, ( ) ( ),

( ) ( ).

Тогда ( ) ( ).

Теорема о непрерывности равномерного предела. Предположим,

( , )

÷òî ( ) ( ) è

Тогда lim →∞ = lim → −0 ( ).

*Записки могут содержать ошибки.

1

Теорема об интегрируемости равномерного предела. Пусть

[ , ]

N, ( ) [ , ] è ∫ ( ) = . Пусть также ( ) ( ). Тогда

( ) [ , ] è ∫ ( ) = lim →∞ .

Докажем сначала, что последовательность { } фундаментальна. За-

номер 1, что для любого [ , ] выполняется, что | ( ) − ( )| < − . Значит, найдется 2 N, ÷òî > 2 разность | − | < 1.

:= max{ 1, 2} + 1

Тогда > 0: для любого ( , ) отмеченное разбиение [ , ] с диаметром, не большем :

| ( , , ) − | < 1

Тогда для любого отмеченного разбиения ( , ) отрезка [ , ] с диаметром, меньшим :

| ( , , ) − | = | ( , , ) − ( , , )| + | ( , , ) − | + | − |

Пусть есть отрезок [0, 1] и все функции живут на нем. Покажем, что

поточечной сходимости недостаточно. Пример: набор функций { }, функ-

öèÿ состоит из треугольника площади 1 с основанием [0, 21 ], в остальных точках функция будет равна нулю. При этом поточечным пределом будет

функция, тождественно равная нулю.

Теорема. Пусть ограниченный невырожденный промежуток R, ( )1( ) непрерывно дифференцируема:

′ ( ) ( )

В некоторой точке : { ( 0)}∞=1 сходится.

Тогда ( ) равномерно на сходится к ( ), ( ) 1( ) è ′( ) = ( ) íà .

2

Через обозначим предел lim →∞ ( 0) в некоторой точке 0,

∫

0

′ ( )

Осталось доказать, что ( ) ( ). Зафиксируем произвольное > 0.

Найдем 1 N, что для любого > 1: | ( 0) − | < 2 . Тогда > max{ 1, 2}, :

0

3

Лекция №10 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *

5 октября 2015 г.

В прошлый раз мы сформулировали и доказали результаты о свойствах равномерно сходящихся последовательностей. Они легко переносятся на функциональные ряды.

Утверждение 1. Пусть N существует предел lim → −0 ( ) = è

( ) ( ).

∞∞

=1

Тогда ( ) также интегрируема по Риману и

Теорема 3. Пусть ограниченный невырожденный промежуток, для любого натурального функция непрерывно дифференцируема на ,

*Записки могут содержать ошибки.

1

∑ ∑

( ) = ′ ( )

=1 =1

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

∞

∑

( − 0)

=0

{ } коэффициенты степенного ряда, 0 центр степенного ряда. Дальше будем считать, что 0 = 0.

Далее мы будем рассматривать степенной ряд

∞

∑

2

Третья теорема Абеля. Предположим, что этот степенной ряд сходится

âточке 0 абсолютно. Тогда он равномерно сходится на [−| 0|, | 0|].

Äëÿ [−| 0|, | 0|]

Определение. Радиусом сходимости степенного ряда называется число

Замечание 1. Степенной ряд сходится абсолютно на интервале (− , ) и расходится вне отрезка [− , ].

Следовательно, по первой теореме Абеля, в точке рад сходится абсолютно.

Определение. Интервал (− , ) называется интервалом сходимости степенного ряда.

Замечание 2. На любом отрезке, входящем в множество сходимости степенного ряда, этот ряд сходится равномерно.

1)[ , ] (− , ). Найдем 0 (− , ): [ , ] [− , ] ???

2)Если один из концов отрезка (не умаляя общности допустим, что это правый конец) попал в отрезок [ , ], то есть = , то ???

Следствие. Сумма степенного ряда непрерывно на множестве сходимости.

Обозначим

Следствие (формула Коши-Адамара).

lim →∞ | |

3