matan_3sem2015_pilot

Лекция №27 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *

14 декабря 2015 г.

Мы продолжаем обсуждать криволинейные интегралы. Они делятся на интегралы по скалярному полю и по векторному.

Определение. Пусть ( ) векторное поле в R (или в некоторой об- ласти R ). Тогда ( ) = ( 1( ), 2( ), . . . , ( ).

Скалярное поле называется называется потенциалом векторного поля в этой области, если дифференцируемо в этой области и выполняется равенство grad = .

Если у векторного поля существует потенциал, то оно называется потенциальным.

Утверждение. Пусть непрерывно дифференцируемое потенциальное векторное поле. Тогда для любых индексов , {1, . . . , }

∂ = ∂ ∂ ∂

Достаточно считать ̸= , так как иначе слева и справа стоят одинаковые выражения.

Пусть потенциал векторного поля . Тогда

Утверждение. Пусть непрерывное потенциальное векторное поле в области , его потенциал.

Если гладкая (кусочно-гладкая) кривая, лежащая в области с

началом в точке и концом в точке , то

∫

= ( ) − ( )

Γ

*Записки могут содержать ошибки.

1

Это утверждение достаточно доказать для гладкой кривой. В случае

кусочно-гладкой кривой, она разбивается на гладкие фрагменты, к каждому из которых мы сможем применить теорему, и получить результат для всей кривой.

Следствие. Для потенциального поля криволинейный интеграл второго рода зависит лишь от начала и конца пути, но не от самого пути.

Это эквивалентно тому, что интеграл по любой замкнутой кривой равен нулю.

Теорема (критерий потенциальности). Пусть непрерывное векторное поле в области . Следующие утверждения эквивалентны:

1)Поле потенциально

2)Интеграл по любой замкнутой ломаной равен нулю.

(1) (2) доказано.

(2) (1). Зафиксируем точку 0 . Для произвольной точки соединим 0 и ломанной с началом в 0 и концом в точке и положим

∫

( ) =

Γ

Так как интеграл по любой замкнутой ломанной равен нулю, интегралы по ломанным с одинаковым началом и концом совпадают. Поэтому определение корректно.

Покажем, что ( ) потенциал . Зафиксируем точку = ( 1, . . . , ). Тогда

2

Определение. Область называется односвязной, если в ней любую за-

мкнутую кривую можно стянуть в точку, оставаясь все время в области

.

Замечание. На плоскости односвязность области эквивалентна связности границы или тому, что любой замкнутый контур, лежащий в области, ограничивает внутренность, целиком лежащую в области.

Пусть односвязная область на плоскости, ( , ) непрерывно дифференцируемое векторное поле в , ′ = ′ â . Тогда ( , ) потенциальное поле в .

Для доказательства потенциальности достаточно доказать, что интеграл по любой замкнутой кривой равен нулю.

~

Пусть - произвольная замкнутая ломаная в , ограничиваемая

~

ей область. Так как односвязна, то .

Теорема (формула Грина). Пусть пробегаемый против часовой

стрелки контур (замêнутая кривая) на плоскости, ограничивающий область. Векторное поле непрерывно дифференцируемо в области и на гра-

ницах. Тогда ∫ ∫

+ = ( ′ − ′)

Докажем формулу Грина в предположении, что разбивается в

конечное объединение непересекающихся криволинейных трапеций (стандартных по , либо повернутых на 90 градусов стандартных по ).

Достаточно доказать формулу для поля вида ( , 0) и стандартных криволинейных трапеций по и поля вида (0, ) и стандартных трапеций по

3

Лекция №28 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *

18 декабря 2015 г.

В прошлый раз мы остановились на том, что решили проверить формулу Гаусса-Остроградского о том, что

Мы свели ее к решению этой задачи для криволинейной трапеции для поля ( , 0). Она состоит из 4 частей: нижняя и верхняя границы ( 1 è 3, îáðà- зованные функциями и ), левая и правая вертикальные границы ( 2 è4).

Так как поле горизонтально, то 2 = 4 = 0. Также

Определение. Пусть область на плоскости, параметризованная ( , ). Тогда гладким куском поверхности называется отображение

= ( , )

= ( , )

= ( , )

области в R3, являющаяся непрерывно дифференцируемым и удовлетворяющее условию

Определение. Коэффициентом изменения площади ( , ) в точке ( , )

это площадь параллелограмма со сторонами ( , ), где = ( ′ , ′ , ′ ),

= ( ′ , ′ , ′ ).

√

( , ) = ‖ × ‖ = − 2, ãäå = ‖ ‖2, = ‖ ‖2, = ( , ).

*Записки могут содержать ошибки.

1

Определение. Предположим, что на гладком куске поверхности задано скалярное поле (функция) ( , , ). Тогда поверхностным интегралом

первого рода по данному куску поверхности называется

∫ ∫ ∫ ∫

= ( ( , ), ( , ), ( , )) ( , )

ΣΣ

∫ ∫

=( , ± ( , ))

Теорема (формула Стокса). Пусть ориентируемая поверхность, заданная дважды дифференцируемым отображением, непрерывнодифференцируемое поле на , граница , ориентированная согласованно с . Тогда

∫ ∫

= + + = ,

Γ Γ Σ

ãäå

Теорема (формула Гаусса-Остроградского). Пусть поверхность, ограниченная областью в R3 и ориентированная полем внешних нормалей, непрерывно дифференцируема на . Тогда

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

= ,

ãäå = ′ + ′ + ′ .

Эту теорему достаточно доказать для поля = (0, 0, ) и для области

, являющейся цилиндром, ограниченным функцией = ( , ) снизу и функцией = ( , ) сверху.

Интеграл по боковой поверхности равен 0. Интеграл по верхней крышке равен

2