matan_3sem2015_pilot

Каждый либо входит в , либо не пересекается с ним (так как не содержит граничных точек ).

~

=

=

Закончить доказательство

4

Лекция №20 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *

20 ноября 2015 г.

Теорема. Ограниченное множество R измеримо по Жордану если и только если (∂ ) = 0.

Утверждение.

0)= 0 > 0 простое множество : , < .

1)( ) = 0 *( ) = 0.

2)Åñëè = 0 è , òî = 0.

3)Åñëè 1 = 0 è 2 = 0, òî ( 1 2) = 0

Зафиксируем произвольное > 0. Найдем простое 1, ÷òî 1 1,

1 < 2 и простое 2, ÷òî 2 2, 2 < 2 . Тогда 1 2 простое,

1 2 ( 1 2) è

( 1 2) 6 1 + 2 < .

Утверждение.

1)∂( ) ∂ ∂ .

2)∂( ∩ ) ∂ ∂ .

3)∂( ) ∂ ∂ .

Каждый пункт рассмотрением таблицы 3 Ч 3, по столбцам которой

идут int , ext и ∂ , а по строкам int , ext и ∂ .

Утверждение. Если и измеримы по Жордану, то , ∩ иизмеримы по Жордану.

(∂ ) = 0, (∂ ) = 0, следовательно (∂ ∂ ) = 0, следовательно(∂( )) = 0 и измеримо.

*Записки могут содержать ошибки.

1

Утверждение. Если и ограничены, то

*( ) 6 *( ) + *( )

*( ) > *( ) + *( )

(эти свойства называются супераддитивностью è субаддитивностью.

Возьмем произвольное > 0. Найдем простые 1 è 2, ÷òî

1 , 1 < * + 2,2 , 2 < * + 2.

Тогда 1 2 простое и 1 2 .

( 1 2) 6 1 + 2 < * + * + ,

Следствие. Если и измеримы и = ?, то ( ) = + .

( ) + ( ) = *( ) + *( ) 6 *( ) = ( ) = = *( ) 6 *( ) + *( ) = ( ) + ( )

Так как левая и правая части равны, то неравенства превращаются в равенства и ( ) = ( ) + ( ).

Определение. Измеримые множества и называются неперекрывающимися, если ( ∩ ) = 0.

Замечание. Если и измеримы и не перекрывающиеся, то ( ) =

+ .

Замечание. Измеримые множества и не перекрываются тогда и только тогда, когда ∩ (∂ ∂ ).

Утверждение. Пусть ( ), ( ) 1[ 0, 1] непрерывно дифференцируемые функции. Тогда мера параметрической кривой равна нулю:

{( ( ), ( )) | [ 0, 1]} = 0

Через обозначим max [ 0, 1] | ′( )|, через обозначим max [ 0, 1] | ′( )|

èпусть = max{ , }.

Тогда 1, 2 :

Возьмем произвольное N. Разобьем [ 0, 1] на одинаковых частей:

2

Возьмем ( ( ), ( )) и рассмотрим квадраты с центром в этих точках и

длин сторон 2 · · 1− 0

.

Объединение этих квадратов является простым множеством, покрывающим данную кривую. Его мера не превосходит суммы мер квадратов:

Замечание. Отсюда, в частности, следует измеримость круга, т.к. мера его границы равна нулю.

Определение. Пусть измеримое множество в R . Разбиением íà- зывается конечный набор = { } =1 измеримых попарно не перекрывающихся множеств, объединение которых дает все .

Определение. Отмеченное разбиение ýòî ïàðà T = ( , ), ãäå =

{ } =1 разбиение , à = { } =1 множество отмеченных точек

.

Определение. Диаметром разбиения называется величина

diam = max diam ,

ãäå

diam = sup‖ 1 − 2‖

3

Лекция №21 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *

23 ноября 2015 г.

Пусть у нас есть пространство R и измеримое подмножество R . Тогда разбиением называлась совокупность = { } =1 измеримых

Определение. Говорят, что функция интегрируема по множеству и число ее интеграл, если для любого положительного найдется положительное , что для любого отмеченного разбиения T = ( , ) с диаметром, не большем , будет выполнено

| ( , , ) − | < .

Обозначения. Пусть

∙множество всех отмеченных разбиений ,

∙(для > 0) множество всех отмеченных разбиений с диаметром < ,

∙= { } >0.

Замечание. áàçà íà .

*Записки могут содержать ошибки.

1

Зафиксируем : → R. Тогда ( , T): → R.

Òàê êàê

( , T) + ( , T) = ( + , T)

и функция непрерывна на (?), то

∫ ∫ ∫

+ = ( + ) .

Следствие: интеграл единственен. Аналогично

( , T) = ( , T)

Утверждение. Пусть интегрируемо по множеству и оно удовлетворяет следующему свойству: для любого > 0 существует разбиение с диаметром < , все элементы которого имеют положительную меру. Тогда

ограничена на .

Возьмем = 1. Найдем > 0, что для любой пары ( , ) отмеченное разбиение с диаметром, не большем

∫

Зафиксируем = { } =1 разбиение с диаметром < , у которого все элементы имеют > 0.

ных точек . Получаем, что ограничено на 1. Пусть произвольная точка 1. Положим

ãäå * è * называются верхними è нижними суммами Дарбу.

2

Замечание.

*( , ) = sup ( , , )

={ }

Для любого набора отмеченных точек

*( , ) 6 ( , , ) 6 *( , )

Определение. Рассмотрим разбиение = { } =1. Измельчением ðàç- биения называют разбиение, полученное дополнительным разбиением на куски.

*( , 1) 6 *( , 3) 6 *( , 3) 6 *( , 2).

Определение. Нижним интегралом Дарбу по называется

* = sup *( , ),

— разбиение

àверхним интегралом Дарбу :

Теорема (критерий Дарбу). Пусть непустое измеримое множество, ограничена на . Тогда

1)интегрируема на и интеграл равен .

2)* = * (= ).

3

Лекция №22 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *

27 ноября 2015 г.

На прошлых лекциях мы ввели понятие разбиения = { }, отмеченного разбиения T = ( , ) и интегральной суммы Римана

∑

( , , ) = ( ) .

=1

Число называлось интегралом функции , если для любого > 0 существует > 0, что для любого отмеченного разбиения ( , ) с диаметром <

верно, что

| ( , , ) − | < .

Мы также ввели понятия верхней и нижней суммы Дарбу:

Тогда для любых разбиений 1 è 2 верно, что

*( , 1) 6 *( , 2),

тогда обозначим

*( ) = sup *( , )

*( ) = inf *( , )

Теорема. Пусть непустое измеримое множество, определенная на функция. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

равно

*

*Записки могут содержать ошибки.

1

− < ( , , ) < + .

− 6 *( , ) 6 *( , ) 6 +

Òàê êàê

*( , ) 6 *( ) 6 *( ) 6 *( ),

то для любого > 0 имеем | *( ) − *( )| < , следовательно *( ) = *( ).

(2) (1). Докажем, что, если * = *, òî ( ). Зафиксируем произвольное > 0. Найдем разбиение 1 для которого

*( , 1) > * − ,

èразбиение 2, для которого

*( , 2) < * + .

Пусть = { } =1 измельчение 1 и одновременно измельчение 2.

* − < *( , ) 6 *( , ) < * +

Отметим, что

Найдем конечную совокупность брусов с суммой мер < , покрывающие

∂ . Можно считать, что все брусы невырожденны. Объединение найденной совокупности брусов, растянутых в пять раз раза относительно их

центров, обозначим через .

Через > 0 обозначим длину самого короткого ребра в этой совокупно-

Докажем, что, если не лежит полностью ни в одном , то . Внутри есть точка, принадлежащая 1 и точка, не принадлежащая ему. Тогда на отрезке, соединяющего эти точки, есть граничная точка , при этом длина этого отрезка не превосходит . Тогда , а, так какэто объединение брусов, растянутых в пять раз, и диаметр не больше, то целиком лежит в .

Пусть := sup ( ).

2

3