- •2. Линейные операции над матрицами. Нулевая матрица.
- •3.Нелинейные операции над матрицами. Единичная матрица.
- •4.Определители. Вычисление определителей 1го, 2го и 3го порядков.
- •5)Минор.Алгебраическое дополнение.Вычисление определителя «n» - ого порядка
- •6)Свойства определителей:
- •7. Обратная матрица. Построение обратной матрицы.
- •9) Методом Крамера возможно решать только квадратные системы линейных уравнений.
- •10) Матричная запись системы:
- •16. Линейные операции над векторами в аналитической форме
- •17. Орты. Понятие базиса. Разложение векторов по базису. Линейное пространство векторов.
- •22. Множество, подмножество. Универсальное множество, пустое множество.
- •25. Биекция
- •27. Способы задания числовых функций
- •29. Таблица элементарных функций
- •30. Размерность области определения, области значения, геометрического образа:
- •36.Классификация неопределённостей.
- •37. Методы раскрытия неопределённостей
- •38. Непрерывность функции в точке, классификация разрывов
- •39. Определение производной функции. Пример вычисления производной по определению.
- •40. Таблица производных.
Матрицы. Определение и классификация.
Матрица – прямоугольная таблица элементов. Над элементами определены операции: умножение на число, сложение элементов и умножение элементов.
Матрицы.
Числовые Функциональные
Классификация матриц.
А - прямоугольная матрица
m x n
А - квадратная матрица
m x m
2 3 5
3) А = - матрица-столбец
m x 1
3 x1
529
4) А = - матрица-строка
1 x n
135 021 008
5) А = - треугольная матрица
275810
032117
000456
000098
6) А = - ступенчатая матрица
5000
0700
0020
0006
7) А = - диагональная (все элементы, стоящие НЕ на главной
диагонали, равны 0)
000
000
000
8) А = - нулева матрица (все элементы – нули)
1000
0100
0010
0001
9) А = - единичная матрица
2. Линейные операции над матрицами. Нулевая матрица.
Линейные операции над матрицами.
Умножение объекта на число Сложение объектов
Умножение матриц на число
Определено для матриц любого размера
Получается матрица того же размера
Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент умножить на число
Сложение матриц
Складываем только равно размерные матрицы
Получается матрица того же размера
Складываем элементы с одинаковыми индексами
3.Нелинейные операции над матрицами. Единичная матрица.
Единичная матрица - это матрица,у которой на диагонали стоят одни единицы.
Нелинейные операции над матрицами:
1)Умножение
Число столбцов первой матрицы должно быть равно числу столбцов второй.
Возводить в степень можно только квадратные матрицы.
2)Транспонирование(первый столбец стал первой строкой)
Транспонировать можно матрицу любого размера
3)нахождение обратной матрицы
Некоторые свойства операции над матрицами:
a)АxВ не равно ВxА
б)(А + В) ^ T = (A )^T + (B )^T
в) (A ^T)^T = A
4.Определители. Вычисление определителей 1го, 2го и 3го порядков.
Определитель- это число,заданное с помощью квадратной таблицы,которое вычисляется по определенному правилу.
Замечание:
Определитель имеет свой размер(порядок)
Определители бывают:
-числовые
-функциональные
Правила для вычисление определителя первого,второго и третьего порядка:
1-ого порядка: определитель равен самому определителю
2-ого порядка: главная диагональ -(минус) побочная диагональ
3-ого порядка:Существует два способа:
1)методом треугольника
2)добавлением строчек или столбцов (2 первые строчки добавляем вниз или первые два столбца вправо)
5)Минор.Алгебраическое дополнение.Вычисление определителя «n» - ого порядка
Минор-это определитель полученный из из данного, путем вычеркивания одной строки и одного столбца. (порядок минора на 1ед. меньше исходного).
Алгебраическое дополнение-минор (соответствующий элементу mij) со знаком, зависящим от номера строки и номера столбца. (Aij=(-1)в степениi+jMij.
Определитель порядка n- сумма произведений элементов любой строки и/или любого столбца на их алгебраическое дополнение.
6)Свойства определителей:
1) при транспонировании величина опр. не меняется
2) если в опр. 2 любые строки/столбца поменять местами, то в опр. знак меняется на противоположный
3) чтобы опр умножить на число, достаточно 1 строку/столбец умножить на это число
4) опр. = 0, если строка/столбец из нулей
5) опр. = 0, если 2 равные строки/столбцы
6) опр. = 0, если 2 строки/столбца пропорциональны
7) b11+c11 (в одном определителе) =b11 +c11 (в разных).
8) если в определителе строку/столбец заменить на сумму этой строки и любой другой, умноженной на число, то величина опр. не изменится
7. Обратная матрица. Построение обратной матрицы.
Построение обратной матрицы (невозможно без определителя)
- обратная матрица существует для квадратных невырожденных (определитель не равен нулю) матриц
- в результате получаем матрицу того же размера
Процедура получения обратной матрицы:
Вычисляем определитель матрицы (он должен быть не равен нулю): |A|=Δ, |A|≠ 0
Вычисляем алгебраические дополнения каждого элемента исходной матрицы: Aij
В исходной матрице заменяем элементы на их алгебраические дополнения
Полученную матрицу из алгебраического дополнения транспонируем (Aij)T=(Aji)
Делим полученное число на величину определителя A-1=1/Δ*(Aij)
A-1 обратна A, следовательно, A-1*A=A* A-1=E
8. Система линейных уравнений. Однородная, неоднородная. Определение решения системы.
Линейные уравнения – уравнения, в которых над элементами выполнены только линейные операции (сложение и умножение на число)
Линейная система – это система, все уравнения которого – линейные.
Линейная однородная система уравнений – система, в которой все уравнения однородные
Линейная неоднородная система – система, в которой хотя бы одно уравнение неоднородное. (Неоднородное уравнение – уравнение, которое в качестве свободного члена содержит константу, отличную от 0)
Решение системы уравнений – упорядоченная последовательность чисел, которая при подстановке их в уравнения, превращают их в тождества.