- •§1. Функция, основные понятия.
- •§2. Основные свойства функций. Четность
- •Периодичность
- •§3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей.
- •§4. Сравнение бесконечно малых функций.
- •Говорят, что бесконечно малая a(X) имеет порядок k по сравнению с бесконечно малой b(X) при , если имеют одинаковый порядок малости бесконечно малые a(X) и (b (X))k, то есть
- •Дополнительные упражнения
- •Ответы.
- •§5. Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции.
- •§6. Односторонние пределы.
- •§7. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва.
- •§8. Производная. Правила и формулы дифференцирования.
- •§9. Дифференциал функции, его применение.
- •§10. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.
- •§11.Геометрический и механический смысл производной.
- •Пример 3
- •Из уравнения первой параболы получаем
- •Дополнительные упражнения
- •§12. Производные высших порядков.
§12. Производные высших порядков.
Пусть функция дифференцируема на интервале . Производную называют производной первого порядка или первой производной функции . Если первая производная дифференцируема на интервале , то ее производную называют второй производной или производной второго порядка функции . Для производной второго порядка приняты следующие обозначения:
, или .
Аналогично определяется производная порядка n :
,
при этом под производной нулевого порядка подразумевается сама функция .
Пример 1.
Найти функции .
Решение.
Найдем первую производную:
.
Тогда .
Пример 2.
Найти , если .
Решение.
Последовательно находим производные :
Пример 3.
Записать формулу для производной -го порядка, если .
Решение.
Имеем: , , .
Заметив закономерность в выражениях для , можно записать формулу для n-й производной , .
Пример 4.
Найти для функции, заданной параметрически:
.
Решение.
Используем правило однократного дифференцирования функций, заданной параметрически:
.
Находим первую производную данной в условии задачи функции:
.
Составляем теперь формулу для второй производной по тому же правилу дифференцирования функции, заданной параметрически:
.
Вторую производную записываем также в параметрической форме:
.
Пример 5.
Показать, что функция удовлетворяет уравнению .
Решение.
Находим и :
, , и подставим их в уравнение:
.
Получили верное равенство, значит функция удовлетворяет уравнению , что и требовалось показать.
Самостоятельная работа.
Вариант 1.
-
Найти , если .
-
Найти для функции, заданной параметрически:
.
Вариант 2.
-
Найти , если .
-
Найти для функции, заданной параметрически:
.
Вариант 3.
-
Найти , если .
-
Найти для функции, заданной параметрически:
.
Ответы.
Вариант 1.
1. ; 2..
Вариант 2.
1. ; 2..
Вариант 3.
1. ; 2. .
Список учебной литературы
-
Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб.пособие для вузов: В 2-х т. Т.1/ Н.С. Пискунов. –М.: Интеграл-Пресс, 2001. - 416с.
-
Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: В 2-х ч. Ч.1/ Д.Т. Письменный. –М.: Рольф, 2001. - 288с.
-
Щипачев, В.С. Высшая математика/ В.С. Щипачев. –М.: Высш.шк., 1988. – 479с.
-
Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ Г.Н.Берман. –М.: Наука, 1985. – 416с.
-
Щипачев, В.С. Сборник задач по высшей математике/ В.С. Щипачев.
-М.: Высш.шк., 1998. – 304с.
-
Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2-х ч. Ч.1/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. –М.: Высш.шк., 1996. -304с.