- •§1. Функция, основные понятия.
- •§2. Основные свойства функций. Четность
- •Периодичность
- •§3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей.
- •§4. Сравнение бесконечно малых функций.
- •Говорят, что бесконечно малая a(X) имеет порядок k по сравнению с бесконечно малой b(X) при , если имеют одинаковый порядок малости бесконечно малые a(X) и (b (X))k, то есть
- •Дополнительные упражнения
- •Ответы.
- •§5. Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции.
- •§6. Односторонние пределы.
- •§7. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва.
- •§8. Производная. Правила и формулы дифференцирования.
- •§9. Дифференциал функции, его применение.
- •§10. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.
- •§11.Геометрический и механический смысл производной.
- •Пример 3
- •Из уравнения первой параболы получаем
- •Дополнительные упражнения
- •§12. Производные высших порядков.
§10. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.
Пусть уравнение определяет переменную как неявную функцию от переменной (будем считать эту функцию дифференцируемой). Тогда для нахождения производной нужно продифференцировать обе части уравнения по , считая при этом, что зависит , и из полученного уравнения, линейного относительно, найти производную.
Пример 1.
Найти производные функций , заданных неявно следующими уравнениями: а) , б).
Решение.
а) Дифференцируем обе части данного уравнения по , считая :
.
Слагаемые с оставляем в левой части равенства, общий множитель выносим за скобки и находим как решение линейного уравнения:
.
Производная неявно заданной функции получается выраженной как через аргумент , так и через саму функцию . Поэтому в ответ ее следует записать вместе с уравнением, связывающим и .
Ответ: , где .
б) Дифференцируем обе части данного уравнения по , считая :
.
Слагаемые с переносим в левую часть равенства, общий множитель выносим за скобки и решаем уравнение относительно :
.
Ответ: , где .
Если функция аргумента задана параметрически:
, то ее производная вычисляется по формуле: .
Пример 2.
Найти производную функции, заданной параметрически:
а) , б) .
Решение.
а) , .
Тогда по формуле получим
Производная получилась выраженной через параметр . Как известно, производная функции является функцией того же аргумента . Поэтому полученная производная в рассматриваемом примере должна быть записана в параметрической форме.
Ответ: .
б) ,
.
Тогда по формуле получим .
Ответ: .
Самостоятельная работа.
Вариант 1.
а) Найти производную функции , заданную неявно .
б) Найти производную функции, заданной параметрически .
Вариант 2.
а) Найти производную функции , заданную неявно .
б) Найти производную функции, заданной параметрически .
Вариант 3.
а) Найти производную функции , заданную неявно
.
б) Найти производную функции, заданной параметрически
.
Ответы.
Вариант 1.
а) , где ; б) .
Вариант 2.
а) , где ; б) .
Вариант 3.
а) , где ; б) .
Дополнительные упражнения.
-
Убедиться в том, что функция , определяемая уравнением , удовлетворяет также соотношению .
-
Убедиться в том, что функция , заданная параметрически уравнениями , удовлетворяет соотношению где .
-
Убедиться в том, что функция удовлетворяет соотношению , где .
§11.Геометрический и механический смысл производной.
Если функция имеет производную в точке , то угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен .
Уравнение касательной к графику функции в ее точке имеет вид
.
Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная к касательной, называется нормалью.
Если , то уравнение нормали записывается в виде
.
Если , то нормаль имеет уравнение .
Пусть графики функций и пересекаются в точке М0. За угол между графиками этих функций принимается величина меньшего угла, образованного касательными, проведенными к графикам в точке М0.
Угол находится с помощью формулы: , .
Если , то .
Пример 1.
Под какими углами синусоида пересекает ось абсцисс?
Решение.
Синусоида пересекает ось абсцисс в точках ,.
Ее производная:
Если , то ,
то есть угловой коэффициент касательной к синусоиде равен единице. Следовательно, в точках синусоида пересекает ось абсцисс под углом .
Если , то ,
то есть в этих точках синусоида пересекает ось абсцисс под углом .
Ответ:
Пример 2.
Написать уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой .
Решение.
Найдем производную функции:
.
Вычислим значения функции и ее производной в точке :
, .
Запишем уравнение касательной
,
упрощая которое, получим .
Запишем уравнение нормали:
,
упрощая которое, получим .
Ответ: – уравнение касательной,
– уравнение нормали.