Пример 3
Составить уравнения
касательной и нормали к кривой
в точке
.
Решение.
Из уравнения кривой найдем производную неявно заданной функции:
.
Следовательно,
.
Уравнение касательной:
.
Уравнение нормали:
.
Ответ:
; 
.
Пример 4.
Найти углы, под
которыми пересекаются графики функций
и
.
Решение.
Найдем точки пересечения парабол из системы
или
Итак, точки пересечения А(1;1) и B(4;4).
Из уравнения первой параболы получаем
,
тогда
.
Аналогично для второй параболы:
,
.
Тогда в точке
А(1;1)
.
Для точки
B(4;4): 
, 
.
Тогда
.
Ответ:
.
Мгновенной
скоростью
или скоростью
изменения функции
в точке
называется
.
Таким образом, производная есть скорость изменения функции.
Пример 5.
По оси ОХ
движутся две материальные точки, законы
движения которых
и
(
-
в метрах,
-
в секундах). В какой момент времени их
скорости окажутся одинаковыми?
Решение.
Найдем скорости
обеих точек:
,
.
Скорости будут равны при
.
Решим уравнение
и получим
,
.
Ответ:
,
.
Пример 6.
Количество
электричества
( в кулонах ), протекающее через поперечное
сечение проводника, изменяется по закону
.
Найти силу тока в конце пятой секунды.
Решение.
Сила тока I(t)
равна мгновенной скорости изменения
количества электричества, протекающего
через поперечное сечение проводника.
Поэтому
и
,
т.е. сила тока в конце пятой секунды равна 32 амперам.
Ответ: 32 амп.
Пример 7.
Тело массой
движется прямолинейно по закону
.
Найти кинетическую энергию тела через
3с после начала движения
(масса
задана в килограммах, путь
- в метрах).
Решение.
По формуле
кинетическая энергия тела
.
Найдем скорость тела через 3с после начала движения:
.
Значит искомая кинетическая энергия тела равна
(дж).
Ответ: 36,75 дж.
Самостоятельная работа.
Вариант 1.
-
Записать уравнение касательной и нормали к кривой
в
точке
. -
Материальная точка движется по закону
(s
- в метрах, t
– в секундах). Найти скорость ее движения
в момент времени
Вариант 2.
-
Выяснить, в какой точке кривой
касательная параллельна прямой
.
Написать уравнение этой касательной. -
По оси абсцисс движутся две точки, имеющие законы движения
и
.
С какой скоростью удаляются они друг
от друга в момент встречи (х - в метрах,
t-
в секундах).
Вариант 3.
-
В какой точке параболы
следует провести к ней касательную,
чтобы последняя проходила через точку
М(1;1)? -
Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5 см/с. Какова скорость изменения объема шара в момент, когда его радиус становится равным 50 см?
Ответы.
Вариант 1. 1.
; 2.
Вариант 2. 1. ; 2. 15 м/c .
Вариант 3. 1. (2;0), (0;6); 2. 0,05 м3/c .
Дополнительные упражнения
-
Составить уравнение касательной и нормали к линии
в точке
.
Сделать построение.
-
Найти углы, под которыми пересекаются линии
и
.
Сделать построение.
-
Найти углы, под которыми пересекаются линии
и
.
Сделать построение.
-
Составить уравнение нормали к параболе
,
перпендикулярной к прямой, соединяющей
начало координат с вершиной параболы.
Сделать построение.
-
Показать, что касательные, проведенные к гиперболе
в точках ее пересечения с осями координат,
параллельны между собой. Сделать
построение.
-
На линии
найти точку, в которой касательная
параллельна оси абсцисс.
-
Составить уравнение нормали к линии
,
параллельной прямой
.
Ответы:
1. 
- уравнение касательной,
- уравнение нормали.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
6. 
.
7. 
.