- •§1. Функция, основные понятия.
- •§2. Основные свойства функций. Четность
- •Периодичность
- •§3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей.
- •§4. Сравнение бесконечно малых функций.
- •Говорят, что бесконечно малая a(X) имеет порядок k по сравнению с бесконечно малой b(X) при , если имеют одинаковый порядок малости бесконечно малые a(X) и (b (X))k, то есть
- •Дополнительные упражнения
- •Ответы.
- •§5. Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции.
- •§6. Односторонние пределы.
- •§7. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва.
- •§8. Производная. Правила и формулы дифференцирования.
- •§9. Дифференциал функции, его применение.
- •§10. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.
- •§11.Геометрический и механический смысл производной.
- •Пример 3
- •Из уравнения первой параболы получаем
- •Дополнительные упражнения
- •§12. Производные высших порядков.
§8. Производная. Правила и формулы дифференцирования.
Приращением функции называется разность , где – произвольное малое приращение аргумента .
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при и обозначается одним из следующих символов:
Таким образом, по определению
или .
Если указанный предел существует, то функцию называют дифференцируемой в точке , а операцию нахождения ее производной - дифференцированием.
Правила дифференцирования.
Если С – постоянная, – некоторые дифференцируемые функции, то:
-
,
-
-
,
-
-
-
в частности, ,
-
если , т.е. - сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то
.
На основании определения производной и правил дифференцирования составляется таблица производных основных элементарных функций:
-
, .
-
, в частности .
-
, в частности .
-
;
;
;
.
5. ;
;
;
.
-
;
;
,
.
Пример 1.
Найти производную функции по определению:
а) ; б) .
Решение.
а) При любом приращении имеем:
Т.к. то
.
б)
.
Пример 2.
Доказать, что функция в точке недифференцируема.
Решение.
При любом приращении найдем приращение функции в точке :
Из определения производной следует, что
Так как односторонние пределы не совпадают, то не существует. Это и означает, что в точке данная функция не имеет производной, т.е. недифференцируема .
Пример 3.
Применяя правила и формулы дифференцирования, найти производные следующих функций:
а) , б) ,
в) , г),
д).
Решение.
а) Перепишем заданную функцию в виде
(при этом используются формулы и ).
Тогда по правилам дифференцирования суммы, вынесения постоянного множителя за знак производной и формуле производной степенной функции получим:
.
б) Преобразуем заданную функцию, раскрыв скобки в числителе и поделив почленно на знаменатель:
.
в) По правилу дифференцирования произведения и таблице производных находим, что
.
г) По правилу дифференцирования суммы, частного, произведения и таблице производных находим, что
д) Упростим заданную функцию, пользуясь свойствами логарифмов:
.
Пример 4.
Применяя правила и формулы дифференцирования, найти производные следующих сложных функций:
а), б), в),
г), д),
е).
Решение.
а) Данная функция является композицией двух функций и . По правилу дифференцирования сложной функции получаем:
.
б) Данная функция является композицией трех функций , и . Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получаем:
.
в) .
г) Сначала применяем правило дифференцирования произведения, а затем - дифференцирования сложной функции:
д) Сначала применяем правило дифференцирования сложной функции, а затем - дифференцирования частного:
.
е)
Пример 5.
Найти значение , если
а) , б).
Решение.
а) Упростим функцию, пользуясь свойствами логарифмов
;
при получим
б) Найдем производную
.
При получим .
Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, т.е.
,
откуда находят .
Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций называется логарифмическим дифференцированием. В некоторых случаях оно значительно упрощает нахождение производной. Логарифмическое дифференцирование полезно применять, когда заданная функция содержит логарифмирующиеся операции (умножение, деление, возведение в степень) и, в частности, для нахождения производной показательно-степенной функции
Пример 6.
Используя логарифмическое дифференцирование, найти если
а), б),
в), г).
Решение.
а) Прологарифмируем функцию:
.
Найдем логарифмическую производную
.
Так как , то
.
б) Прологарифмируем функцию:
.
Найдем логарифмическую производную
.
Тогда .
в) Прологарифмируем функцию и продифференцируем по , имея в виду зависимость от :
В дальнейшем для дифференцирования показательно-степенных функций можно использовать эту формулу.
г) Здесь .
Найдем , .
Тогда по формуле, выведенной в предыдущем примере, получим
.
Самостоятельная работа.
Вариант 1.
Найти производные функций:
а) , б),
в), г).
Вариант 2.
Найти производные функций:
а), б),
в), г).
Вариант 3.
Найти производные функций:
а), б),
в), г).
Ответы.
Вариант 1. а), б),
в), г).
Вариант 2. а), б),
в), г).
Вариант 3. а), б) ,
в), г) .
Дополнительные упражнения.
Найти производные функций:
1), 2) , 3) ,
4) , 5), 6),
7) , 8).
Ответы.
1),
2) ,
3),
4) ,
5),
6),
7),
8).