§6. Односторонние пределы.

Число А называется левосторонним пределом функции f(x) в точке x = a, если , то есть если , что , оставаясь меньше ( слева).

Обозначения: .

Число А называется правосторонним пределом функции f(x) в точке x = a, если , то есть если , что , оставаясь меньше ( справа).

Обозначения: .

Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке называются ее односторонними пределами.

Для существования обычного необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела в точке существовали и были равны, то есть чтобы .

Пример 1.

Найти односторонние пределы функции

в точках и .

Сделать вывод о существовании предела функции в этих точках .

Решение.

При слева ,

при справа ,

следовательно предел функции при не существует.

При слева ,

при справа ,

односторонние пределы при равны между собой, значит существует предел данной функции .

Пример 2.

Найти односторонние пределы функции при .

Решение.

Если (слева), то и , следовательно,

Если (справа), то и , тогда

Ответ: ,

Дополнительные упражнения.

Найти односторонние пределы функции в точке . Сделать вывод о существовании обычного предела :

а) ;

б) ;

в) .

Ответы.

а) , , ;

б) , не существует;

в) , не существует.

§7. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва.

Функция называется непрерывной при ( в точке ), если выполняются следующие условия:

1. функция определена в точке и в ее некоторой окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке ;

3. этот предел равен значению функции в точке , т.е.

.

При этом точка называется точкой непрерывности данной функции.

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Точка называется точкой разрыва функции, если эта функция определена в некоторой окрестности точки , но не выполнено хотя бы одно из трех условий непрерывности.

Классификация точек разрыва:

1. Если существует , но или не определена в точке или , то называют точкой устранимого разрыва или точкой разрыва типа выколотой точки.

2. Если существуют конечные односторонние пределы, но они не равны , т.е. , то называют точкой разрыва типа скачка, а разность называется скачком функции в точке .

Разрывы типа выколотой точки и типа скачка относятся к конечным разрывам или к разрывам I рода.

3. Если в точке разрыва не существует или бесконечен хотя бы один из односторонних пределов, то называют точкой разрыва 2-го рода.

Из свойств непрерывных функций:

1. Все основные элементарные функции: показательная, логарифмическая, степенная, тригонометрические, обратные тригонометрические непрерывны на своих областях определения.

2. Все элементарные функции (они получаются из основных элементарных функций арифметическими операциями и суперпозициями) также являются непрерывными во всех точках своей области определения.

Пример 1.

Доказать, что функция непрерывна при всех .

Решение.

Выберем произвольную точку и покажем, что для нее выполняются все три условия, приведенные в определении непрерывности функции в точке:

1) т.к. функция определена на всей числовой оси, то точка со своей окрестностью входит в область определения;

2) применяя теоремы о пределах суммы и произведения, найдем

;

3) .

Получили, что - точка непрерывности функции, а в силу произвольности выбора данная функция непрерывна при всех .

Пример 2.

Дана функция .

При каких значениях А функция будет непрерывной в точке ?

Решение.

В точке и ее окрестности функция определена, .

Вычислим .

Тогда данная функция будет непрерывной в точке , если т.е. если А = 6.

Ответ: А = 6.

Пример 3.

Найти область непрерывности функции и ее точки разрыва.

Решение.

Данная функция является дробно-рациональной и относится к элементарным функциям. Она определена и непрерывна при всех значениях переменной, когда знаменатель не обращается в ноль, т.е. когда , то есть при .

Рассмотрим точку , где функция не определена.

Вычислим , следовательно, – точка разрыва 2-го рода.

Ответ: функция f(x) непрерывна при ,

имеет бесконечный разрыв в точке .

Пример 4.

Дана функция .

Найти промежутки непрерывности и точки разрыва функции. Построить ее график.

Решение.

Функция определена при . Она является непрерывной на интервалах , и , на которых она задана непрерывными основными элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках стыковки указанных интервалов, то есть при и .

Для точки имеем:

,

Т.к. односторонние пределы конечны и не равны между собой, то в точке функция имеет разрыв 1-го рода.

Для точки находим:

.

.

Следовательно, в точке функция непрерывна.

График функции:

Ответ: непрерывна при , в точке имеет разрыв типа скачка.

Пример 5.

Исследовать на непрерывность функцию в точках и . Сделать схематический чертеж.

Решение.

Для точки имеем:

.

Следовательно, в точке функция непрерывна.

Для точки имеем:

не существует.

Следовательно, точка – точка разрыва 2-го рода.

Ответ: – точка непрерывности;

– точка разрыва 2-го рода.

Самостоятельная работа.

Вариант 1.

Исследовать на непрерывность функцию в точках и . Построить график.

Вариант 2.

Исследовать на непрерывность функцию в точках и . Сделать схематический чертеж .

Вариант 3.

Исследовать на непрерывность функцию .

Построить график.

Ответы.

Вариант 1.

- точка непрерывности, - точка устранимого разрыва.

График:

Вариант 2.

- точка непрерывности, - точка разрыва 2-го рода.

Чертеж:

Вариант 3.

- точка разрыва 2-го рода , - точка разрыва типа скачка.

График:

Дополнительные упражнения.

1. Пусть

При каком выборе числа «а» функция будет непрерывной? Построить ее график.

2. Охарактеризовать непрерывность функций и .

Построить их графики.

3. Охарактеризовать непрерывность функций и . Построить их графики.

4. Функция не определена при . Какой разрыв имеет функция в точке ?

5. Описать непрерывность и построить графики функций , где - это целая часть , она равна наибольшему целому числу, не превосходящему .

Ответы.

1. .

2. непрерывна при , в точке имеет разрыв II рода;

непрерывна при , в точке имеет разрыв II рода.

3. непрерывна при , в точке имеет устранимый разрыв.

непрерывна при , в точке имеет разрыв II рода.

4. Разрыв типа скачка.

5. непрерывна при ; имеет разрывы типа

скачка во всех целочисленных точках ;

непрерывна при ; имеет разрывы II рода во всех целочисленных точках .