Квантование поля
Метод
квантования полей был разработан в 1927
г. П.А.М.Дираком, предложившим ввести
операторы, описывающие рождение и
уничтожение частиц. Чтобы пояснить суть
метода Дирака, рассмотрим систему
операторов, состоящую из одинаковых
частиц в одном и том же состоянии. В
квантовой механике состояние системы
частиц описывается волновой функцией
или вектором состояния. Если через N
обозначить
число частиц, то
определяет
вероятность данного состояния. Если
число частиц N
точно известно, то
,
т.е. вектор состояния для любого
фиксированного N
нормирован на единицу.
Введем операторы уничтожения частицы а– и оператор рождения частицы а+. По определению а– переводит состояние с N частицами в состояние с N – 1 частицей:
.
а+ переводит состояние с N частицами в состояние с N + 1 частицей:
.
В
частности, если имеется вакуумное
состояние поля где N=0,
,
где
– вектор состояния, характеризующий
вакуум. Таким образом, получается
одночастичное состояние, которое
получается в результате рождения из
вакуума одной частицы. Определение
вакуума
,
т.к. невозможно уничтожить частицу в
состоянии в котором частиц нет. Вакуумный
вектор состояние
имеет
в квантовой теории поля особое значение,
так как из него при помощи оператора
а+,
можно получить
любые состояния, применив его
соответствующее количество раз.
.
Характерным свойством операторов рождения и уничтожения частиц является то, что они не коммутируют.
Операторы рождения и уничтожения частиц удовлетворяют перестановочному отношению
Приведенные выше перестановочные отношения выполняются для полей, кванты которых имеют целый спин, т.е. являются бозонами и могут находиться в одном состоянии. Если описывается система фермионов, то согласно принципу запрета Паули, все частицы должны находиться в различных состояниях. Соответственно операторы рождения и уничтожения частиц следует конкретизировать, добавив указание к какому состоянию частицы эти операторы относятся. С учетом различных состояний частиц перестановочные отношения запишутся в виде
где
n,
m
– целые числа, обозначающие номера
частиц.
Перестановочные
отношения отражают тот факт, что
невозможно уничтожить частицы, которых
нет, то есть
.
Данные соотношения имеют место для
полей, кванты которых имеют полуцелый
спин и подчиняются принципу запрета
Паули, запрещающего наличие в одной
системе двух систем в одинаковых
состояниях.
Квантовая электродинамика (кэд)
Квантовая электродинамика является теорией электромагнитного взаимодействия и представляет собой часть теории поля. В квантовой электродинамике рассматриваются процессы взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем.. Основные электродинамические явления могут быть сведены к трем процессам: фотон взаимодействует с фотоном, фотон взаимодействует с электроном, электрон взаимодействует с электроном.
Диаграммы Фейнмана
Для
описания этих процессов используются
диаграммы Фейнмана, которые представляют
собой графики движения частиц в 4-х
мерном пространстве-времени. В
диаграммах Фейнмана физическому процессу
сопоставляется его графическая схема.
Движение фотона
отображается волнистой линией движение
электрона – прямой, движение античастиц
изображается как движение вспять по
времени. Взаимодействие
частиц на диаграмме изображается
вершиной (или узлом), в котором сходятся
две фермионных и одна бозонная линии
(см. рис. 5.9).
Линии, один из концов которых свободен,
соответствуют свободным частицам.
Данный рисунок иллюстрирует процесс
испускания фотона электроном.
Согласно теории относительности длина стрелок находится по формулам для 4-х интервала. С величиной интервала данной стрелки в КЭД связывается амплитуда – плотность вероятности того, что частица, которая находится в данный момент времени в данном месте, окажется в другой момент времени в другом месте. Поэтому диаграммы Фейнмана не только являются иллюстрацией реакций с частицами, но и позволяют сделать оценки соотношения вероятностей процессов. В частности, с их помощью легко доказать доминирующую роль низших по числу вершин (или количеству виртуальных частиц) диаграмм в электромагнитных взаимодействиях.