Волновой пакет

Если бы элементарная частица была точечной, то вероятность ее нахождения в некоторой точке пространства, была бы равна нулю, если частицы там нет, или единице, если частица там есть. Но элементарные частицы не точки и, строго говоря, их нельзя считать локализоваными в бесконечно малой области пространства. Свободно движущийся электрон представляет собой волновой пакет, т. е. «сгусток» распространяющихся вместе электронных волн. Ширина волнового пакета не остается постоянной во времени, а непрерывно увеличивается.

В квантовой механике каждому состоянию частицы с определенным значением импульса и энергии соответствует волна де Бройля, т.е. волна с определенным значением частоты и длины волны, занимающая все пространство. Если частица имеет энергию Е и импульс р, то с ней связана волна, частота которой и длина волны .

Координата частицы с точно определенным импульсом является полностью неопределенной – частица с равной вероятностью может быть обнаружена в любой точке пространства, что соответствует соотношению неопределенностей. Если же частица локализована в некоторой ограниченной области пространства, то ее импульс уже не является точно определенной величиной (см. рис. 5.5. и рис. 5.6.).

Состояние каждой частицы представляется как сумма волн с частотами, соответствующими интервалу возможных значений импульса. Наложение (суперпозиция) группы таких волн, имеющих почти одинаковое направление распространения, но слегка отличающихся по частотам и образует волновой пакет: результирующая волна будет отлична от нуля лишь в некоторой ограниченной области пространства. То есть вероятность обнаружить частицу в этой области велика, а вне ее практически равна нулю. Скорость волнового пакета совпадает с механической скоростью частицы.

Из того, что электрон представляет собой волновой пакет, не локализованный в одной точке пространства, следует невозможность различить электроны.

Тождественность электронов

Электроны являются элементарными частицами, каждая из которых обладает одинаковыми физическими свойствами: определенной массой m_e, зарядом –е, спином e_s=±1/2 и пропорциональным спину магнитным моментом. Следовательно, электроны при одинаковых внешних условиях движутся одинаково. В классической механике для того, чтобы различать частицы достаточно пометить их в некоторый начальный момент времени.

В квантовой механике частицы представлены волновыми пакетами. Допустим мы пометим номерами два волновых пакета. С течением времени они расплываются в пространстве. Если взять точку из области наложения этих расплывшихся волновых пакетов, то можно ли сказать какой из электронов наблюдается?

В квантовой механике имеется лишь возможность вычислить вероятность нахождения частицы в той или иной точке пространства. Поэтому волновая функция только определяет область, в которой возможно движение частицы. Если для двух или более частиц области допустимых значений перекрываются, то нельзя определить, какая именно частица обнаружена в данной точке. Следовательно, частицы следует рассматривать как тождественные.

Из принципа тождественности частиц следует невозможность различить два состояния системы, которые отличаются друг от друга только перестановкой двух частиц одинаковой природы. Важное следствие принципа тождественности частиц состоит в том, что волновая функция системы частиц при перестановке координат двух частиц не должна меняться.

Принцип тождественности математически означает, что распределение плотностей вероятности найти частицу совпадают при замене одного электрона на другой.

|Ψ(1,2)|²=|Ψ(2,1)|².

Это возможно если функции пропорциональны

Ψ(1,2)=k² Ψ(2,1), где k²=1, k=±1.

Следовательно, перестановка двух одинаковых частиц не повлечет за собой изменения состояния системы тогда и только тогда, когда волновая функция системы является

1. симметричной Ψ(1,2)= Ψ(2,1),

2. антисимметричной Ψ(1,2)= –Ψ(2,1).

В общем случае Ψ функция не будет ни симметричной, ни антисимметричной, но из взаимозаменяемости частиц следует, что для системы из частиц одинаковой природы всегда существуют волновые функции, одни симметричные, другие антисимметричные по отношению ко всем парам частиц одинаковой природы.

Состояние, волновая функция которого симметрична, называется симметричным состоянием системы, а состояние, волновая функция которого антисимметрична, – антисимметричным состоянием системы. Симметричная зависимость от координат каждой пары частиц означает невозможность осуществить переход системы из симметричного состояния в ассиметричное и обратно. То есть, симметричное и ассиметричное состояния образуют два отдельных ансамбля, между которыми невозможны никакие переходы. То есть для частиц одного типа может осуществляться либо симметричное, либо антисимметричное состояние, поскольку если ансамбль находится в начальный момент времени в состоянии одного типа, то он навсегда останется в этом состоянии.