Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Рассмотрим одно из геометрических приложений частных производных функции двух переменных. Пусть функция дифференцируема в точке некоторой области . Рассечем поверхность , изображающую функцию , плоскостями и .

Плоскость пересекает поверхность по некоторой линии , уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функции вместо числа . Точка принадлежит кривой . В силу дифференцируемости функции в точке функция также является дифференцируемой в точке . Следовательно, в этой точке в плоскость к кривой касательная .

Проводя аналогичные рассуждения, для сечения построим касательную к кривой . Прямые и определяют плоскость , которая называется касательной плоскостью к поверхности в точке

Составим её уравнение. Так как плоскость проходит через точку , то её уравнение может быть записано в виде

,

которое можно переписать так:

(1)

( разделив уравнение на и обозначив ).

Найдем и .

Уравнения касательных и имеют вид

соответственно.

Касательная лежит в плоскости , следовательно, координаты всех точек удовлетворяют уравнению (1). Этот факт можно записать в виде системы

.

Разрешая эту систему относительно , получим, что .

Проводя аналогичные рассуждения для касательной , легко установить, что .

Подставив значения и в уравнение (1), получаем искомое уравнение касательной плоскости:

(2)

Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется её нормалью.

Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости легко получить каноническое уравнение нормали:

(3)

Если поверхность задана уравнением , то уравнения (2) и (3), с учетом того, что частные производные могут быть найдены как производные неявной функции:

Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности получены для обыкновенных, т.е. не особых, точек поверхности. Точка поверхности называется особой, если в этой точке все частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем.

Пример 1. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к параболоиду вращения в точке .

Решение: Здесь . Пользуясь формулами (2) и (3) получаем уравнение касательной плоскости: или и уравнение нормали: .