9. Предельный переход в неравенствах:

Если элементы сходящейся последовательности {Xn} начиная с некоторого номера удовлетворяет неравенству Xn ≥ b ( или Xn ≤b) то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a≥b ( или a ≤ b)

Доказательство: Пусть ( от противного) a<b тогда для ε = b-a > 0 можно указать номер N такой что при n>N выполняется неравенство

| Xn-a | < b-a. Это неравенство эквивалентно двум неравенствам –(b-a)<Xn-a<b-a. Используя правое из этих неравенств мы получим Xn < b а это противоречит условию утверждения. Случай Xn ≤ b рассматривается аналогично.

Сделаем следующее замечание. Переменная Xn может удовлетворять строгому неравенству Xn > b однако при этом предел а может оказаться равным b.

Если элементы Xn и Yn сходящихся последовательностей {Xn} и {Yn} начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству Xn≤Yn то их пределы удовлетворяют такому же неравенству.

Так как все элементы бесконечно малой последовательности {} имеют одно и тоже постоянное значение b-a, то b-a = 0, т.е. b=a. Теорема доказана.

Сходящаяся последовательность ограничена. Доказательство: пусть {Xn} – сходящаяся последовательность и а – ее предел. Следовательно, имеем Xn=a+n, где n- элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность {} ограничена, то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство ||≤A. Поэтому |Xn|≤|a|+A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {Xn}. Теорема доказана.

25.Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов. Таблица эквивалентности

Пусть на отрезке [a,b] или на множестве Е заданы две функции f(x) и g(x), причем одна из этих функций простая элементарная функция, например g (x), а другая сложная.

Функция f на множестве Е имеет порядок g, если ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌│f (x) ‌‌‌‌‌‌‌│ ≤ C‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌│‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌g (x)│, x принадлежит E и С не зависит от х. Это неравенство записывается в виде равенства f(x)=O(g(x)) где х принадлежит Е а и говорят что f есть О большое от g на E.

Пример: функция f (x)=sin(x) ограничена на вещественной оси (-∞,∞) поэтому можно записать так sinx=O(1), x принадлежит (-∞,∞). В то же время sinx=O(x) так как │sinx │≤ x.

Определение: функция f есть о малое от g при х>а если f(x)=ε(x)*g(x) где ε(x) >0 при х >а и записывается в виде f(x)=o(g(x)) (x >a)

Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при х >а если обе они определены и не равны нулю на некоторой окрестности точки а за исключением быть может самой точки а и если lim (f(x)/ g(x))=1 при х >а. отсюда следует что f(x)= g(x)+о(g(x)) (х >а) (g(x)≠0) (х≠а).

Пример: 1-cosx ≈ 0,5*x² (x>0) так как lim (2*(1-cosx)*x² =lim4sin²(x/2)/x²=lim(sin(x/2)/(x/2)) ^2.=1

Эквивалентные функции (при х>0)

sinx ≈ x+o(x) 2. tgx ≈ x+o(x) 3. arcsinx≈ x+o(x) 4. arctgx ≈ x+o(x) 5. ln(x+1) ≈ x+o(x) 6. e^x-1≈x+o(x)

7.(1+x) ^α -1≈αx+o(x) 8. shx ≈ x+o(x) 9. 1-cosx ≈ x²/2 + o(x)

5.Принцип вложенных отрезков.

Пусть заданна последовательность отрезков.{(An,Bn)} при (n=1) вложенных друг в друга т.е таких, что [An,Bn][An+1,Bn+1] (n=1....) с длинами стремящимися к нулю: Bn-An0 при n (т.е каково бы ни было мало >0, найдется номер N такой, что Bn-An< для всех n>N). Тогда существует и притом единственная точка (число), одновременно принадлежащая всем отрезкам [An,Bn]. Доказательство: Все числа, соответствующие концам вложенных отрезков, удовлетворяют неравенствам: A1A2..AnAn+1Bm+1Bm...B2B1. Все числа An не убывают и ограничены сверху числом Bm при любом m. По основной теореме существует С=sup{An} - точная верхняя грань множества {An}. При этом AnCBm. Так как n и m произвольны, то в частности AnCBn (n=1,2...), следовательно, C[An,Bn], каково бы ни было n. Покажем, что точка С - единственная удовлетворяющая этому свойству. От противного положим, что C1C и С1[An,Bn] для всех n=1,2... Тогда Bn-An|C1-C|=>0 для любого n=1,2... Но это противоречит тому, что Bn-An0 при n. Лемма доказана.