33.Непрерывность элементарных функций.

элементарных функций - они непрерывны в каждой точке области задания. Если при этом область задания функции окажется состоящей из от­дельных изолированных точек, то естественно считать, что функция по определению непрерывна в каждой из этих точек.

Это свойство непосредственно вытекает из теорем 4.2 и 4.3 и непрерывности простейших элементарных функций в каждой точке области задания.

Теорема 4.2.Пусть заданные на одном и том же множе­стве функции f(x) и g(x) непрерывны в точке а. Тогда функции f(x)+g(x), f(x)—g(x), f(x)∙g(x) и f(x)/g(x) непрерывны в точке а (частное при условии g(a)≠0).

Док-во. Так как непрерывные в точке а функции f(x) и g(x) имеют в этой точке предельные значения f(а) и g(a), то в силу теоремы 4.1 предельные значения функций

f(x) +g{x), f(x)-g(x), f(x)∙g(x) и f(x)/g(x) существуют и равны соответственно f(а) + g(a), f(a) —g(a), f(a)∙g(a), f(а)/g(а). Но эти величины как раз и равны частным значениям перечисленных функций в точке а. Теорема доказана. Теорема 4.3. Если функция х =g(t) непрерывна в точке а, а функция у = f(x) непрерывна в соответствующей точке b= g (а), то сложная функция у =f[g(t)] = F(t) непрерывна в точке а.

Док-во. Пусть {tn} — произвольная последо­вательность значений аргумента сложной функции, сходящаяся к а. Так как функция х = g(t) непрерывна в точке а, то соответствующая последователь­ность значений этой функции х_n=g(t_n) сходится к частному значению этой функции в точке а, т. е. к числу b = g(a). Далее, поскольку функция у=f(x) непрерывна в точке b= g (a) и для нее указанная последовательность {х_n}, сходящаяся к b=g(a), является последовательностью значений аргумента, то соответствующая последова­тельность значений функции f(x_n) = f[g(t_n)] = F(t_n) сходится к числу f(b) = f[g(a)] = F(a).

Итак, мы получаем, что для любой последовательности {t_n} значений аргумента сложной функции, сходящейся к а, соответ­ствующая последовательность значений самой сложной функ­ции {f [g(t_n)]} ≡{F(t_n)} сходится к числу f [g(a)]= F(a), являющемуся частным значением сложной функции в точ­ке а. Cложная функция f [g(t)] =F(t) непрерывна в точке a. Теорема доказана.

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­2.Арифметические операции над комплексными числами:

Суммой двух комплексных чисел Z₁=(X₁,Y₁) и Z₂=(X₂,Y₂) называется комплексное число Z вида: Z=(X₁+X₂, Y₁+Y₂).

Произведением двух комплексных чисел Z₁=(X₁,Y₁) и Z₂=(X₂,Y₂) называется комплексное число Z вида: Z=(X₁ X₂-Y₁ Y₂, X₁ Y₂+X₂ Y₁).

Свойства суммы и произведения двух комплексных чисел:

Z₁+Z₂=Z₂+Z₁ (переместительно свойство суммы)

(Z₁+Z₂)+Z₃=Z₁+(Z₂+Z₃) (сочетательное свойство суммы)

Z+(0,0)=Z (особая роль числа (0,0)

Для каждого числа Z=(x,y) существует противоположное ему число Z’=(-x,-y) такое что Z+Z’=(0,0)

Z₁ Z₂= Z₂ Z₁ (переместительное свойство произведения)

(Z₁ Z₂) Z₃=Z₁( Z₂ Z₃) (сочетательное свойство произведения)

Z∙(1,0)=Z (особая роль числа (1,0))

Для любого комплексного числа Z=(x,y),не равного нулю , существует обратное ему число 1/Z=(x/x²+y², -y/x²+y²) такое ,что Z∙1/Z=(1,0) (Z₁+Z₂)∙Z₃=Z₁∙Z₃+Z₂∙Z₃ (распределительное свойство произведения относительно суммы)

Исходя из свойств можно определить разность и частное двух комплексных чисел:

Разностью двух комплексных чисел Z₁=(X₁,Y₁) и Z₂=(X₂,Y₂) называется такое комплексное число Z, которое в сумме с Z₂ дает Z₁. Z=(X₁-X₂, Y₁-Y₂)

Частным двух комплексных чисел Z₁=(X₁,Y₁) и Z₂=(X₂,Y₂) называется такое комплексное число Z, которое при умножении на Z₂ дает Z₁. Z=(x₁x₂+y₁y₂/x₂²+y₂², x₂y₁-x₁y₂/x₂²+y₂²).

Возведение в степень

Z=a=ib=|z| где θ=arg(z)

==(cos(nθ)+sin(nθ)) – формула Муавра.

Корень n-ной степени из комплексного числа z называется такое комплексное число W, что

=Z ; |Z|=; Z=a+ib; Z=|Z|;

== ;

Корни n степени из Z расположены в вершинах правильного n-угольника вписанного окружность радиуса c центром в точке О(0,0).