32. Равномерная непрерывность

Определение :Функция f(x) называется равномерно непрерывной на отрезке [a,b] (или на множестве E), если вы­полнено условие: для любого ε >0 существует такое δε > 0, что для любых двух точек x1 и x2 Є[a,b] (x1, x2Є E) c расстоянием | x1- x2|< δε выполняется неравенство |f(x1)-f(x2)|< ε

В этом определении равномерность надо понимать так, что раз­ность |f(x1)-f(x2)| должна быть малой не зависимо от того, где на отрезке [а,b] взяты точки x1 и х2, лишь бы они были доста­точно близки друг к другу.

Из равномерной непрерывности следует непрерывность к каждой точке отрезка, а значит и просто непрерывность на отрезке: берем любую точку £ Є [a,b], задаем ε >0 и находим δ>0 та­кое, что |x-£|<δ влечет неравенство |f(x)-f(£)|<ε

Более глубоким является обратное утверждение.

Теорема Кантора

Функция f(x) , непрерывная в каждой точке отрезка [а,b] , равномерно непрерывна на этом отрезке.

28. Разрывные функции. Классификация точек разрыва

Разрывная фунуция - функция содержашая в себе точки разрыва. Точки разрыва – точки в которых функция не обладает свойством непрерывности. Функция f(x) называется непрерывной в точке а если предельной значение этой функции в точке а существует и ранво частному значению f(a): lim f(x)=f(a) при х>а

Пример: функция f(x)=sgnx имеет разрыв в точке х=0.

Точка разрыва 1 рода: точка а называется точкой разрва 1-ого рода если в этой точке функция f(x) имеет конечные но не равные друг другу правое и левое предельные значения: lim f (x)≠lim f(x) или f(a+0) ≠ f(a-0)

^{x>a+0 x>a-0}

Пример 1: для функции f(x)=sgnx точка х=0 точка разрыва 1 рода. Действительно т.к. sgnx={1(x>0); 0(x=0);-1(x<0)} то

lim sgnx> = 1 lim sgnx = -1

x>0+0 x>0-0

Пример 2: f(x) = 1/ (1+2^{1 / x} )определена всюду кроме х=0 и имеет разрыв первого рода в этой точке:

lim f(x)> = 0 lim f(x) = 1

x>0+0 x>0-0

Точка разрыва 2 рода: точка а называется точкой разрыва 2-ого рода если в этой точке f (x) не имеет по краней мере одного из односторонних предельных значений или хотя бы один из них равен ∞.

Пример 1: f (x)=sin(1/x). Эта функция в точке х=0 не имеет ни правого ни левого предельного значений. Последовательности значений этой функции: 1, 1, 1, 1…и 0, 0, 0, 0…первая из них имеет предел =1 а вторая =0. значит функция в точке х=0 не имеет правого предельного значения, т.к. sin (1/(-x))=-sin(1/x) то нет и левого предельного значения.

Пример 2: f(x)= ctgx. Эта функция имеет разрыв второго рода в каждой точке πn n=±1, ±2, ±3…

Точки устранимого разрыва: Точка а называется точкой устранимого разрыва функции f(x) если предельное значение функции в этой точке существует но в точке а функция f (x) не определена или ее частное значение f(a) в точке a не равно ее предельному значению lim f(x)=a {a≠f(Xo) или f(Xo) не определено)

^Х>Хо

Пример: f (x) = {sinx/x при х≠0; 5 при х=0}. Функция имеет в нулевой точке устранимый разрыв поскольку предельное значение этой функции в точке х=0 равно 1 а частное равно 5. Если функция f(x) имеет в точке а разрыв указанного типа то этот разрыв можно устранить не изменяя при этом значений функции в точках отличных от а. Для этого достаточно определить значение функции в точке а равным ее предельному значению в этой точке. Так если а рассмотренном примере положить f(0)=1 то lim f(x) = f(0) при ( ^х>0 ) и функция станет непрерывной а точке х=0.