3. Бином Ньютона. Метод математической индукции

Бином Ньютона – это формула, выражающая выражение (a + b)ⁿ  в виде многочлена. формула имеет вид:

_n

(a+b)ⁿ =a ⁿ+C¹_n a ^{n -1} b+C ²_na ^{n -2} b ²+…+b ⁿ = ∑C ⁱ_na ^{n -i} b ⁱ

ⁱ⁼⁰

Пример. В разложении (x ^k +y ^p ) ⁿ найти члены, содержащие х^a, eсли k=3, p=2, n=8, a=9

По формуле Бинома Ньютона имеем: (x ^k +y ^y ) ⁿ = ∑C ⁱ_n(x ^k ) ^{n -i} (y^p) ⁱ

С учетом числовых значений: (x ³ +y ² ) ⁸ = ∑C ⁱ₈* x ^{3(8 –i)} *y^{2 i}

Найдем число i, соответствующее данному члену: 3(8-i)=9, i=5

Находим: C ⁵₈*x ⁹ * y¹⁰ =8!/( 5!*3!)*x ⁹ *y¹⁰=56x ⁹ *y¹⁰

Метод математической индукции: чтобы доказать что некоторая теорема верна для всякого натурального числа n достаточно доказать: 1) что эта теорема справедлива для n=1 2) что елси эта теорема справедлива для числа n то она справедлива также и для следующего натурального числа n+1

Пример: Доказать, что для любого натурального числа n справедливо неравенство; 1+2+…+n = n (n+1)/2

Решение: 1) для n=1: 1=1(1+1) 2=2 2) Если неравенство выполняется для числа n то должно выполняться для n+1:

n=n+1; 1+2+…+n+(n+1)=(n+1)(n+2)/2; (n(n+1)/2)+(n+1)=(n+1)(n+1)/2; (n/2)+1=(n/2)+1; равенство доказано.

­­­­­­­­­­­­­24. Второй замечательный предел

Рассмотрим возрастающую функцию f(x)= при х>0 и докажем, что =e при этом предел будет тот же, если х>+¥ и >е в начале рассмотрим случай, когда х>+¥. Мы знаем, что >е п>+¥ и что эта последовательность монотонно возрастает. Зададим любое e>0 и подберем N_e такое что е-e <()<e для [x]<N, где [x]- целая часть х, и поэтому при х³1 число [x]- есть натуральное. Имеем неравенство е-e << <=*<e<e+e.

Средняя функция неравенств < *<е

Стремится к такому же пределу,к которому стремятся левая и правая функции,которые обе стремятся к е при х>+¥.заметим ещё,что множитель функции стремится к единице при n>¥.

Теперь рассмотрим случай,когда х>-¥.если х>-¥,то у=- х>+¥.имеем

=====*>е ,при у>+¥.

X sinx>0

4. Действительные числа

Действительные числа Х принадлежат множеству рациональных чисел. Имеют свойства порядочности:

1. Х Х , для всех Х принадлежащих R

2. Если ХУ; УZ, то XZ.

3. ХУ и УХ, то Х=У.

4. Х<Y <=> XY, XY

Все эти числа определены на вещественной оси. Вещественная ось - это прямая на которой выбрана начальная точка и задано положительное направление.

Число которое не является рациональным называется иррациональным.

Пример: докажем что v2 иррационально. Пусть v2 = p/q => pІ=2qІ => p-четное, т.е. p=2h

4hІ=2qІ => 2hІ=qІ => qІ-четное => q- четное q=2n

2Ѕ= p/q -дробь не сократимая допустим , но v2= 2h/2n =h/n дробь сократима => противоречие. v2 не может быть рациональным числом. Ч.Т.Д.

1. Комплексные числа. Комплексным числом называется упорядоченная пара вещественных чисел X и Y , первое из которых X называется действительной частью, а второе Y – мнимой частью этого ,пользоваться декартовой прямоугольной системой координат. При этом комплексное число Z=(X,Y) изображается или точкой М с координатами (X,Y), или вектором ОМ, _идущим из начала координат в точку М. Если ввести полярную систему координат так, чтобы полюс находился в начале О декартовой системы координат, а полярная ось была направлена вдоль положительного направления оси Ох то декартовы координаты (Х,Y) и полярные координаты (ρ,θ) любой точки М, как известно, связаны формулами:

ρ = (x²+y²)^½

x=ρ,

y=ρ θ=

Эти формулы приводят нас к тригонометрической форме записи комплексного числа z=(x,y):

Z=(x,y)=x+iy=(ρ=ρ(cosθ+isinθ) В тригонометрической форме представления число ρ называют модулем, а угол θ аргументом комплексного числа.

Алгебраическая запись комплексного числа:

Z=a + ib ( i²=(-1)) где а это действительная часть комплексного числа , а ib это мнимая часть комплексного числа.

Показательная запись комплексного числа имеет вид:

Z=|Z|e^iθ , где |Z|= ρ = (x²+y²)^½