17.Понятие элементарной функции.

Класс элементар­ных функций. В приложениях важную роль играет класс функций, получаемых посредством конечного числа арифмети­ческих операций над простейшими элементарными функциями, а также получаемых путем суперпозиции этих функций. На­пример, функции х³+ 3 cos 2х, In | sinЗх| - e^arctg vх принадлежат этому классу. Мы будем называть этот класс функций классом элементарных функций, а каждую функцию этого класса — эле­ментарной.

Отметим следующее свойство элементарных функций - они непрерывны в каждой точке области задания. Если при этом область задания функции окажется состоящей из от­дельных изолированных точек, то естественно считать, что функция по определению непрерывна в каждой из этих точек.

Это свойство непосредственно вытекает из теорем 4.2 и 4.3 и непрерывности простейших элементарных функций в каждой точке области задания.

Теорема 4.2.Пусть заданные на одном и том же множе­стве функции f(x) и g(x) непрерывны в точке а. Тогда функции f(x)+g(x), f(x)—g(x), f(x)∙g(x) и f(x)/g(x) непрерывны в точке а (частное при условии g(a)≠0).

Док-во. Так как непрерывные в точке а функции f(x) и g(x) имеют в этой точке предельные значения f(а) и g(a), то в силу теоремы 4.1 предельные значения функций

f(x) +g{x), f(x)-g(x), f(x)∙g(x) и f(x)/g(x) существуют и равны соответственно f(а) + g(a), f(a) —g(a), f(a)∙g(a), f(а)/g(а). Но эти величины как раз и равны частным значениям перечисленных функций в точке а. Теорема доказана. Теорема 4.3. Если функция х =g(t) непрерывна в точке а, а функция у = f(x) непрерывна в соответствующей точке b= g (а), то сложная функция у =f[g(t)] = F(t) непрерывна в точке а.

Док-во. Пусть {tn} — произвольная последо­вательность значений аргумента сложной функции, сходящаяся к а. Так как функция х = g(t) непрерывна в точке а, то соответствующая последователь­ность значений этой функции х_n = g (t_n) сходится к частному значению этой функции в точке а, т. е. к числу b = g(a). Далее, поскольку функция у =f(x) непрерывна в точке b= g (a) и для нее указанная последовательность {х_n}, сходящаяся к b=g(a), является последовательностью значений аргумента, то соответствующая последова­тельность значений функции f(x_n) = f[g(t_n)] = F(t_n) сходится к числу f(b) = f[g(a)] = F(a).

Итак, мы получаем, что для любой последовательности {t_n} значений аргумента сложной функции, сходящейся к а, соответ­ствующая последовательность значений самой сложной функ­ции {f [g(t_n)]} ≡{F(t_n)} сходится к числу f [g(a)]= F(a), являющемуся частным значением сложной функции в точ­ке а. Cложная функция f [g(t)] =F(t) непрерывна в точке a. Теорема доказана.

=е21. Правило замены переменной для пределов функций.

Пусть f(X)yo при xxo и существуют пределы lim f(x)=yo и lim u(y)=A, тогда при xxо существует предел сложной функции xxo yyo

u(f(x)) и lim u(f(x)) = lim u(y) = A

xxo yyo Доказательство:

Пусть функция u(y) определена в некоторой -окрестности точки yo, кроме, может быть самой точки yo, тогда поскольку f(x)yo, то при 0<|x-xo|< выполняется неравенство |f(x)-yo|<. Так как f(x)yo, при xxo, то для x(xo-,xo)(xo,xo+) имеет смысл суперпозиция u(f(x)).

Пусть теперь{Xn}-какая-либо последовательность, такая, что lim Xn=xo, XnXo и Yn=f(Xn) n=1,2.. В силу существования lim u(y) = A  lim u(f(x))=lim u(Yn)=A

yyo n n

Поскольку это видно для любой указанной последовательности {Xn}  lim u(f(x))=A

xxo

Пример: найти предел lim sin(*x/(x+2)) решение: Так как при -2<x<2 выполняется -/2<y=*

x0 3

*x/(x+2)</2,то, имеем y0 sin y0.Исп. правило замены переменной:lim sin(*x*(x+2)=0

x0