14.Теорема Больцмана-Вейерштрасса

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность

Доказательство: Так как последовательность {Xn} ограничена, то существует отрезок [a,b] такой, что ему принадлежат все значения элементов Xn n=1,2.... Мы будем говорить, что ему принадлежат все элементы Xn. Разделим [a,b] пополам. По крайней мере один из полученных отрезков содержит бесконечно много элементов. Обозначим его [a1,b1] и выберем из него Xn1. Затем разделим [a1,b1] на два равных и снова хотя бы один из них содержит бесконечно много элементов из {Xn}. Обозначим его [a2,b2] и пусть Xn2[a2,b2] и т.д.Полученная подпоследовательность сходящаяся, так как отрезки [aк,bк] вложены друг в друга и стягиваются bk-ak=(b-a)/2^k0 при к. По лемме о стягивающихся отрезках существует единственная точка Х, принадлежащая всем этим отрезкам. Таким образом lim aк = lim xn = lim bk = x. Теорема доказана.

Замечание 1: Из каждой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность.

Замечание 2: Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

10.Теорема о 2-х милиционерах.

Если начиная с некоторого номера последовательность Z_n удовлетворяет следующему неравенству x_n≤Z­_n≤y­_n , причем последовательность x_n и y­_n являются сходящимися к одному и тому же числу а, то последовательность Z_n заведомо тоже сходится, причем к тому же числу а. Доказательство: Если y­_n сходится к числу а и Z­_{n­ ­}сходится к числу а, то для любого >0 существует N₂ такое что для любых n>N₁; |y_n-a|</2; |x_n-a|</2 что |y_n- х_n |*|y_n-a -x_n+a |≤|y_n-a|+|x_n-a|≤ для любого  существует N₂: любое n>N₂ . |x_n-a|</2 . N>max(N­₁, N₂)

30. Теорема о достижении непрерывной функцией максимума и минимума на отрезке:

Пусть функция f(x) задана на отрезке [a,b]. Существуют точки α и β принадлежащие отрезку [a,b] для которых имеет место: min f(x)=f(α) max f(x)=f(β) при х принадлежащем [a,b].

Доказательство: по теореме об ограниченности непрерывной функции непрерывная на [a,b] функция ограничена. Пусть M= sup (f). По определению точной верхней грани для любого натурального n на отрезке [a,b] найдется точка x _n

Такая что: М-(1/n) < f (x _n) ≤ M, n=1,2…так как все числа x _n из отрезка [a,b] то последовательность { x _n } ограничена и из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность { x _n } ^∞_k=1 предел которой lim f (x _nk ) = f (β) = M

Таким образом верхняя грань домтигается в точке β. Однако β может быть не единственным значением аргумента где функция достигает максимума. Доказательство о минимуме аналогично.

Пример: Пусть g (x) = { 0 при (x=0), cos (π/x) при (х≠0) и f (x)= max{1- |x|, g(x)}. Определить точки на отрезке [-1,1] в которых функция f(x) принимает максимальные значения.

Решение: Так как на отрезке [-1,1] функции 1- | х | и g(x)не превосходят 1 и обе являются четными то максимальное значение +1 можно искать лишь при положительных аргументах х. В точке х=0 g (0)=0 поэтому f (0)=1. Во всех точках полусегмента (0,1] функция 1-| х | = 1-х < 1. поэтому максимальное значение будет составлять функция g (x), а это достигается в точках x _k =(1/2k) , k=1,2…