16. Понятие функции

В опытах повседневной жизни мы всегда сталкиваемся с зависи­мостью одних явлений от других. Обычно величины, участвующие в этих явлениях, изменяются,находясь в более или менее тесной связи друг с другом. Так расстояние, проходимое человеком, зависит от времени; увеличение урожая посеянной культуры зависит от количества удобре­ний в почве; давление газа в сосуде зависит от объема сосуда и температуры газа, объем шара зависит от радиуса и т.д.

Математический анализ выделяют понятие функции и изучает свой­ства функций, отвлекаясь от того, какие зависимости между физичес­кими величинами они выражают. Понятие функции связано с понятием переменной величины.

Множество всех значений, которые может принимать данная пере­менная величина, называются областью изменения этой переменной ве­личины. Тоб что X есть элемент (в данном случае число) из множест­ва Е, записывают так: XeE . Для независимой переменной величины характерным является то, что мы можем по произволу выбирать для нее любое значение из этого множества ее возможных значений. Множеством значений независимой переменной X может служить какой-либо промежуток (или интервал) ( a,d ) (т.е. независимая переменная X может принимать значения, удовлетворяющие нера­венству a<X<b ). Может случиться, что X принимает любые целочисленные значения и т.д.

Определение. Функция f(x) называется ограниченной на множестве E если она ограниченна на E и сверху и снизу.

Определение . Функция f(x) называется неограниченной на множестве E если для любого M>c существует такое значение аргумента X0eE ,что |f(x0)|>M.

Определение . Функция f(x) определенная на числовом множестве Е называется монотонно убывающей (возрастающей) на Е если для любых x1,x2eE таких что x1<x2 выполняется неравенство f(x1)<=f(x2)(f(x1)>=fx2)).

6. Понятие числовой последовательности. Монотонные и ограниченные последовательности.

Пусть B конечное или бесконечное множество элементов a,b,c... Если каждому числу натурального ряда 1,2,3... поставлен в соответствие некоторый элемент из множества B, то говорят что задана последовательность элементов данного множества. Членами последовательности могут быть числа, линии, функции, фигуры и т.д. Члены последовательности, как правило, обозначаются одной буквой с индексом внизу, указывающим то натуральное число, которому данный член соответствует. Множество В состоит из конечного или бесконечного набора чисел. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, то есть если существуют два вещественных числа m и M такие, что каждый элемент Xn этой последовательности удовлетворяет неравенствам mXnM. Условие ограниченности можно записать в эквивалентной форме: последовательность {Xn} является ограниченной тогда и только тогда, когда существует вещественное положительное число А такое, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству |Xn|A. Последовательность {Xn} называется неограниченной, если для любого сколь угодно большого числа найдется хотябы один элемент последовательности Xm, удовлетворяющий неравенству |Xm|>A. Ограниченная сверху (снизу), если существует вщественное число M (вещественное число m) такое, что кадый элемент последовательности Xn этой последовательности удовлетворяет неравенству XnM (mXn). Последовательность {Xn} называется неубывающей (невозрастающей),если каждый последующий член последовательности не меньше (не больше) предыдущего, то есть, если для всех номеров выполняется неравенство XnXn+1(XnXn+1). Неубывающие и невозрастающие последовательности объединяются общим названием - монотонные последовательности. Теорема о монотонной ограниченной последовательности. Пусть для любого n=1,2... XnXn+1, если последовательность {Xn} ограничена сверху числом М, то существует то существует lim(n ) X=AM. Если же она не ограничена, то limXn=+.

Доказательство. Пусть неубывающая переменная Xn ограничена сверху числом М. Тогда существует точная верхняя грань. sup Xn=CM. Это значит что для всякого >0 должно найтись n=n такое, что С-<Xn. Но так как Xn не убывает, то для всех n>n выполняется неравенство XnXn, поэтому С-<XnC<C+ для n>n или |Xn-C|<, n>n, а по определению предела это значит lim(n ) Xn=C. Пусть теперь Xn не ограничена сверху. Тогда для любого М>0 найдется такое Xnо, что M<Xno. Но так как Xn не убывает, то для всех n>no будет M<Xno<Xn, а это означает что lim(n ) Xn=+

Пример: Доказать, что Xn=(a^n)/n!0 при n . Решение. Так как |a^n| = |a^n|

то достаточно рассмотреть случай a>0. |n!| n!

Пусть m-натуральное число, такое, что m+1>a. тогда: a^n < a^m * ( a )^n-m 0 при n. n! m! (m+1)

_____________________________________________________________________________