11. Теорема о монотонной и ограниченной последовательности.

Пусть для любого n=1,2... XnXn+1, если последовательность {Xn} ограничена сверху числом М, то существует то существует lim(n ) X=AM. Если же она не ограничена, то limXn=+.

Доказательство. Пусть неубывающая переменная Xn ограничена сверху числом М. Тогда существует точная верхняя грань. sup Xn=CM. Это значит что для всякого >0 должно найтись n=n такое, что С-<Xn. Но так как Xn не убывает, то для всех n>n выполняется неравенство неравенство XnXn, поэтому С-<XnC<C+ для n>n или |Xn-C|<, n>n, а по определению предела это значит lim(n ) Xn=C. Пусть теперь Xn не ограничена сверху. Тогда для любого М>0 найдется такое Xnо, что M<Xno. Но так как Xn не убывает, то для всех n>no будет M<Xno<Xn, а это означает что lim(n ) Xn=+

Пример: Доказать, что Xn=(a^n)/n!0 при n . Решение. Так как |a^n| = |a^n|

то достаточно рассмотреть случай a>0. |n!| n!

Пусть m-натуральное число, такое, что m+1>a. тогда: a^n < a^m * ( a )^n-m 0 при n

n! m! (m+1)

31.Теорема о непрерывной обратной функции

Пусть у=f(x) есть непрерывная строго возрастающая функция на отрезке [a, b] и A=f(a), B=f(b). Тогда образ [a, b] есть отрезок [A,B] и обратная к f функция x=(y) однозначна, строго возрастает и непрерывна на [A,B] .

Доказательство

Пусть Е₁=f([a,b]). По условию A Е₁ и B Е₁ . по теореме о промежуточных неприрывной функции любая точка отрезка [A,B] принадлежит Е₁. В следствии строгой монотонности f(x) точка у не может быть оброзом какой-либо точки x[a,b], если точка у не принадлежит [A,B]. Этим доказано, что образ отрезка [a,b] при помощи f есть отрезок [A,B] . строгая монотонность функции x=(y) и ее однозначность следует из строгой монотонности f(x) на [a,b].

Докажем непрерывность функции x=(y) в любой точке y₀( A,B). Пусть >0 – произвольно малое число, причем [x₀-, x₀+][a,b], где x₀=(y₀) и пусть y₁=f(x₀-), y₂=( x₀+) . Из строгой монотонности f следует, что для любого числа y(y₁,y₂) соответствующее значение x=(y)  (x₀-, x₀+) . Таким образом для любого малого >0 можно добавить окрестность (y₁,y₂) точки y₀ такую, что |x-x₀|=|(y)- (y₀)|<  при y(y₁,y₂) . А это свойство показывает, что (y) непрерывна в любой точке y₀.

Для концевой точки y₀=B соответствующая точка x₀=b=(y₀)= (B). Полагаем x₁b->a, y₁=f(x₁) и тогда |(y₀)- (y)|<  для всех y(y₁,y₀). Аналогично рассматривается случай y₀=A.

Замечание. В формулировке теоремы можно слово «возвращающая» заменить на слово «убывающая» и тогда надо заменить [A,B] на [B,A].

Пример1: функция у=+= при х[0,2] имеет обратную функцию x=(y)=1± , которая при у[0,1] является двухзначной. Если функцию у=+ определять на отрезке [0,1] , то она является строго монотонной, непрерывной, поэтому обратная функция x=(y)=1-- определенная на отрезке [0,1] , является непрерывной, однозначной и строго возрастающей.

Пример2: функция y=f(x)=sinx на отрезке [-π,π] имеет обратную x=(y)=arcsin y, которая при у=0 является трехзначной (х₁=-π, х₂=0, х₃=π) при у=-1 и при у=1 функция x=(y) является однозначной , а на интервалах (-1,0) и (0,1) она является двухзначной. Функция у=sin x на отрезке [-π/2, π/2] является строго монотонной и непрерывной, поэтому обратная функция x=arcsin y на образе [-1,1]=sin[-π/2, π/2] является тоже непрерывной и строго возрастающей.

Замечание. Ранее мы установили непрерывность функции sin x и cos x в точке х=0, откуда следует непрерывность этих функций в любой точке отличной от нуля. Например (пусть х=х₀+h, x₀≠0) функция sin x = sin (х₀+h)=sin x₀ cos h + cos x₀ sin h стремится к sin x₀ при h>0, так как cos h >1, sin h>0 при h>0