12. Число е

Пусть Хn=(1+1/n)^n, n=1,2...

Покажем что эта последовательность ограничена и монотонно возрастает, тем самым будет доказано, что она имеет предел.

По формуле Ньютона имеем:

Xn=1+n * 1 + n(n-1) * (1)^2 +...+(1)^n = 1+1+1*(1-1)+1*(1-1)*(1-2)+...+1

1! n 2! (n) (n) 2! n 3! n n n^n

Xn+1=1+1 * 1 * (1- 1 ) + 1 * (1- 1 ) * (1- 2 )+...+ 1 . * 1 .

2! n+1 3! n+1 n+1 (n+1)^n-1 (n+1)^n+1

соответствующие члены в сумме для Хn+1 не меньше, чем члены для Хn, поэтому Xn<Xn+1 (n=1,2....), т.е последовательность возрастает.

Далее(используя для получения последнего неравенства формулы суммирования геометрической прогрессии) для любого n

Xn=2+ 1 * (1- 1 ) + 1 * (1- 1 ) * (1- 2 )+...+ 1 < 2+ 1 + 1+...+1 < 2+(1/2)+(1/2^2)+...+

2! n 3! n n n^n 2! 3! n!

+(1/2^n-1)<2+1=3

Монотонная неубывающая последовательность ограничена числом 3. Поэтому по теореме о монотонной ограниченной последовательности переменная Хn имеет предел е, причем 2<e<3 т.е е=2,718281828....