- •3.8.3. Метод послідовних поступок
- •2.1. Поняття бінарного відношення
- •2.2. Способи задавання відношень
- •2.3. Операції над відношеннями
- •2.4. Властивості відношень
- •2.5. Відношення еквівалентності, порядку, домінування та переваги
- •2.6. Поняття r-оптимальності, найкращого, найгіршого, максимального та мінімального елементів
- •2.7. Поняття функції вибору. Класи функцій вибору
- •2.8. Функції корисності
- •Багатокритеріальні задачі оптимізації
- •3.1. Загальна постановка багатокритеріальної задачі оптимізації
- •3.2. Поняття ефективної альтернативи
- •3.3. Теоретичне і практичне значення ефективного рішення.
- •3.4. Властивості ефективних альтернатив і способи їх знаходження.
- •3.5. Загальна проблема пошуку компромісних рішень
- •3.5.1. Принципи рівномірності
- •3.5.2. Принципи справедливої поступки
- •3.5.3. Інші принципи оптимальності
- •3.6. Методи нормалізації критеріїв
- •3.7. Способи урахування пріоритету критеріїв
- •3.7.1. Методи урахування жорсткого пріоритету
- •3.7.2. Методи урахування гнучкого пріоритету
- •3.8. Методи розв’язання багатокритеріальних задач оптимізації
- •3.8.1. Методи зведення до узагальненого критерію (методи згортки)
- •3.8.2. Метод головного критерію
- •3.8.3. Метод послідовних поступок
2.3. Операції над відношеннями
О з н а ч е н н я 2.4. Відношення включено у відношення (записується ), якщо множина пар, для яких виконується відношення включена у множину пар, для яких виконується .
Будемо говорити, що відношення строго включено у , якщо й . Рівність відношень реалізується так само як і рівність множин.
Для матричного задавання відношень буде вірним таке правило: якщо , то , .
П р и к л а д 2.3. – відношення « » на множині дійсних чисел, – відношення « < » на множині дійсних чисел. Тоді .
О з н а ч е н н я 2.5. Відношення називається доповненням відношення , тоді і тільки тоді, коли воно виконується лише для тих пар елементів, для яких не виконується відношення .
Очевидно, що
. (2.3)
Тому у матричному запису , .
У графі присутні ті й тільки ті дуги, які відсутні у графі .
Для розрізів відношення справедливо: , .
П р и к л а д 2.4. Нехай R – відношення «» на множині дійсних чисел, тоді – відношення « < » на множині дійсних чисел.
О з н а ч е н н я 2.6. Перерізом відношення та (записується ) називається відношення, яке визначено перерізом відповідних підмножин з .
В матричному записі це означає, що
, .
О з н а ч е н н я 2.7. Об’єднанням відношень та ( позначається ) називається відношення, що визначено об’єднанням відповідних підмножин з .
В матричному записі це можна записати, як
, .
О з н а ч е н н я 2.8. Зворотним до відношення називається відношення , яке визначається такою умовою:
. (2.4)
Для матриць відношень та буде мати місце
П р и к л а д 2.5. Нехай R – відношення «» на множині дійсних чисел. Тоді – відношення «» на множині дійсних чисел.
П р и к л а д 2.6. Нехай відношення R на множині задано матрицею:
Побудувати відповідні йому зворотне відношення та доповнення.
Розв’язування
Згідно означення 2.5. Для доповнення відношення R маємо:
Зворотне відношення будуємо за означенням 2.8:
О з н а ч е н н я 2.9. Добутком (або композицією) відношень та (позначається ) називається відношення, яке визначається за правилом:
, якщо існує елемент , такий що та .
П р и к л а д 2.7. – відношення «менше», – відношення «більше», та подані на . Пара чисел , якщо існує z такий, що та , тобто – це повне відношення на (таке, яким пов’язані усі елементи множини ).
П р и к л а д 2.8. Нехай на множині подано два відношення та .
Визначити їх композицію.
Розв’язування
Згідно означення 2.9 , якщо існує , такий що та . У матричному записі це означає, що
,
де п порядок матриці.
Тобто композиція відношень обчислюється як максимінний добуток відповідних їм матриць.
Тоді маємо:
О з н а ч е н н я 2.10. Відношення називається звуженням відношення на множину , якщо та Звуження відношення на множину називають також відношенням на множині .
П р и к л а д 2.9. Відношення « >» на множині натуральних чисел є звуженням відношення « >» на множині дійсних чисел.