3.5.3. Інші принципи оптимальності

Принцип головного критерію. Згідно цьому принципу один із локальних критеріїв вибирається за головний і проводиться його скалярна оптимізація за умовою, що рівень інших критеріїв не гірше допустимого.

де , – заданий допустимий рівень критерію .

За головний може вибиратися будь-який критерій. Проте краще брати критерій, для якого складно визначити допустимий рівень.

За допомогою цієї моделі можна реалізувати в принципі всіляку схему компромісу і отримати будь-яке оптимальне рішення в області компромісів. Проте аргументація вибору допустимого рівня критеріїв у переважній більшості випадків неможлива.

Принцип максимізації зваженої суми критеріїв. Цей принцип є модифікацією моделі абсолютної поступки для випадку заданих пріоритетів критеріїв. Його записують у вигляді:

,

де α_j  [0,1], jI ={1, 2, …, m}, .

Проте цей принцип має і універсальне, в деякому сенсі, значення. Для випуклих задач за допомогою цієї моделі визначається область компромісів.

Зауважимо, що як і в попередніх випадках аргументувати вибір вагових коефіцієнтів для реалізації якого-небудь принципу компромісу практично неможливо.

Принцип максимізації ймовірності досягнення ідеальної якості. Часто в стохастичних векторних задачах може бути визначене ідеальне, бажане значення всіх локальних критеріїв і отже, ідеальна якість . Тоді задача оптимізації може бути подана в скалярній формі з критерієм – ймовірність досягнення складної події

.

Практично ж методи обчислення ймовірності подій навіть у випадку двох, трьох подій дуже складні. Тому даний метод може бути використаний лише в деяких конкретних випадках, коли m ≤ 3 і обчислення здійснюється досить просто.

3.6. Методи нормалізації критеріїв

Модель відносної поступки інваріантна до масштабу вимірювання критеріїв, проте, в більшості випадків доводиться використовувати інші моделі, що мають сенс лише в нормалізованому просторі критеріїв, оскільки найчастіше масштаби виміру критеріїв неоднакові і виникає необхідність проводити нормалізацію критеріїв, тобто штучно приводити їх до єдиної міри.

Більшість методів нормалізації ґрунтується на введенні поняття «ідеальної якості», тобто вектора , який має ідеальне значення ефективності у^u. Тоді вибір оптимального рішення стає рівнозначним найкращому наближенню до цього ідеального вектора у^u = (y₁^u, … , y_m^u). Різні методи отримуємо залежно від того, що вважати ідеальним вектором і в якому сенсі розуміють «найкраще наближення».

Часто замість дійсної величини критеріїв розглядаються або їх відхилення від ідеального значення y_j = y_j^u – y_j, або безрозмірна величина критерію , вочевидь , .

При вирішенні багатокритеріальних задач оптимізації використовуються обидва способи перетворення масштабу. Проте для нормалізації може бути використаний лише другий, оскільки він не залежить від масштабу вимірювання критеріїв, не утискає права якого-небудь з критеріїв і приводить всі критерії до єдиного масштабу [0,1].

Розглянемо, залежно від способу вибору у^u, основні способи нормалізації.

Спосіб 1. Ідеальний вектор якості визначається заданою величиною критеріїв .

Цей випадок досить рідкий, тобто визначення заданої величини критеріїв, як правило, пов'язане з серйозними труднощами, а її аргументація дуже суб'єктивна, що приводить до суб'єктивного оптимального рішення.

Спосіб 2. Як ідеальний вектор ефективності береться вектор, компонентами якого є оптимум альні значення локальних критеріїв. Наприклад для задачі, де всі критерії максимізуються буде вірним:

.

Далі замість абсолютної величини критеріїв вводиться їх відносна безрозмірна величина

, .

Недоліком цього способу нормалізації є те, що він істотно залежить від максимального можливого рівня критеріїв, визначуваного умовами задачі. Перевага автоматично віддається критерію з найбільшою величиною локального оптимуму і рівноправність критеріїв порушується.

Той же недолік має і спосіб Севіджу (принцип найменшого жалю).

Тут ідеальний вектор має такий же вигляд, але простір критеріїв трансформується в простір відхилень.

, .

і подальший вибір здійснюється на основі принципу мінімаксу. Цей спосіб також суттєво залежить від масштабу вимірювання критеріїв.

Спосіб 3. Тут компонентами ідеального вектора служать точні верхні границі (sup) (або для задач мінімізації – точні нижні границі (inf)) локальних критеріїв, що визначені на просторі рішень Y, а саме

,

і вводяться відносні критерії за формулами:

, .

Цей спосіб нормалізації є найбільш справедливим і не зачіпає «прав» жодного з критеріїв. Він до того ж об'єктивний і не залежить від масштабу критеріїв. Проте дуже часто цей спосіб непридатний, оскільки границею критеріїв є нескінченність. Правда, в цьому випадку можлива наближена реалізація даного способу нормалізації шляхом задавання деякого, достатньо високого рівня критеріїв.

Спосіб 4. Тут компонентами y^u є максимально можливі відхилення критеріїв в умовах даної задачі:

, ,

або без обмежень

, .

При цьому способі потрібна спеціальна перевірка умов інваріантності до початку координат і масштабам вимірювання критерію принаймні для деяких принципів компромісу.

Спосіб 5.Тут нормалізація проводиться на одиничному гіперкубі таким чином. Вважають , , jI, або , , jI.

В цьому випадку також можливі порушення умов інваріантності до початку координат і масштабу вимірювання критеріїв для цілого ряду моделей.

Як видно, успішне вирішення проблеми нормалізації багато в чому залежить від того, наскільки точно і об'єктивно удається визначити ідеальну якість рішень, а нормалізація, по суті справи, зводиться до деякої трансформації простору критеріїв, тобто до вибору зручної і «справедливої» топології, в якій задача вибору рішення по декільком критеріям набуває строгого і ясного сенсу.

Таким чином, перетворення, повинні задовольняти таким вимогам:

• враховувати необхідність мінімізації відхилень від оптимальних значень за кожною функцією цілі;

• мати спільний початок відліку і один порядок зміни значень на всій множині допустимих альтернатив;

• зберігати відношення переваги на всій множині альтернатив, порівнянних за вихідними функціями цілі.

Найбільш поширеними, виходячи з вищевикладених способів, є перетворення

(3.10)

(3.11)

Розглянуті способи нормалізації припускають однакову важливість критеріїв, але в більшості випадків критерії нерівнозначні і тому необхідно враховувати пріоритети критеріїв.