Лабораторная работа n 53. Изучение явления резонанса при вынужденных колебаниях пружинного маятника

Резонансом называют относительно большой селективный (избира­тельный) отклик осциллятора на периодическое воздействие с частотой близкой к собственной частоте осциллятора.

Рассмотрим особенности этого явления. При гармоническом воздействии с циклической частотой  и амплитудой h на осциллятор с затуханием, его поведение описывается уравнением:

. (11)

Решением этого уравнения (убедитесь непосредственной подстановкой) являются функции вида:

(12)

где начальная амплитуда x_з и начальная фаза _з затухающих колебаний определяются начальными условиями, - частота затухающих колебаний. Величина

(13)

Рис. 5. График функции t > 0, , , .

называется амплитудой вынужденных колебаний. Сдвиг по фазе вынужденных колебаний относительно внешнего возмущения  определяется выражением:

(14)

Для наглядности функция, описываемая уравнением типа (12), показана на рисунке 5. Очевидно, что после "включения" периодического возмущения имеет место некоторый переходной процесс, в течение которого поведение осциллятора довольно сложное. По прошествии времени порядка 1/ первое слагаемое в (12) становится пренебрежимо малым, и в системе устанавливаются вынужденные гармонические колебания с циклической частотой  внешнего периодического возмущения:

(15)

где x₀ и  определяются соотношениями (13) и (14). Зависимости этих величин от  показаны на рисунке 6. Они отражают суть явления резонанса.

Рис.6 Зависимости амплитуды вынужденных колебаний и сдвига фаз

от частоты внешнего возмущения для

_   (пунктирная линия), _  4 (сплошная линия),

_   (штриховая линия ).

Из приведенных зависимостей очевидно, что явление резонанса можно использовать для определения параметров осциллятора - коэффициента затухания  и собственной частоты _ Удобнее всего это делать используя график зависимости величины I/I_max от частоты. Величину , пропорциональную энергии колебаний, назовем интенсивностью колебаний, (I_max - значение I в максимуме). Действительно, в большинстве практически важных случаев _ Тогда для  близких к _,

. (16)

Рис. 7

График этой зависимости изображен на рис. 7. Очевидно, что положение максимума резонансной кривой определяет величину _. Проведем на графике прямую параллельную оси абцисс при ординате 1/2. Эта прямая пересечет резонансную кривую в точках _ и _. Величину   _  _ называют шириной резонансной линии. Из (16) очевидно, что    . Таким образом, коэффициент затухания определяет полуширину резонансной линии.

Цель данной работы - наблюдение резонанса при вынужденных колебаниях пружинного маятника, измерение частоты собственных колебаний, коэффициента затухания, логарифмического декремента затухания и добротности маятника по резонансной кривой.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА

Рис. 8.

Приборы и принадлежности: пружинный маятник в трубке, система возбуждения маятника, секундомер, набор грузиков, весы.

Используемая в работе установка изображена на рисунке 8. Пружинный маятник 1 образован пружиной и одним из грузиков. Маятник колеблется в трубе 2. От зазора между стенками трубы и грузиком зависит сила трения, действующая на маятник. Периодическая сила создается системой, состоящей из электродвигателя 3, редуктора 4, эксцентрика 5 и нити 6. Эксцентрик приводится во вращение через редуктор и в свою очередь, дергая нить, вызывает периодические колебания точки подвеса маятника. Этим обеспечивается периодическое воздействие на последний. Частота вращения электродвигателя зависит от электрического напряжения на нем, последнее регулируется с помощью трансформатора 7. Амплитуда колебаний маятника определяется по шкале, нанесенной на трубу.

ХОД РАБОТЫ

1. Запишите уравнение колебаний грузика на пружине с учетом силы вязкого трения в отсутствие внешнего периодического воздействия и получите выражения для собственной частоты и коэффициента затухания:

, (17)

где k - жесткость пружины, m - масса грузика, r - параметр, определяющий силу вязкого трения F_тр  rv (v - скорость).

2. До включения электродвигателя проверьте правильность установки груза в трубе: он должен колебаться на равном удалении от стенок трубы.

3. Установите на трансформаторе минимальное напряжение, включите электродвигатель.

4. Меняя электрическое напряжение на двигателе с помощью трансформатора, измерьте частоту вращения эксцентрика и амплитуду колебаний (по шкале на трубе). Частоту определите, засекая время 20  30 оборотов эксцентрика. Измерения проведите для нескольких грузов, предложенных преподавателем.

5. Постройте графики зависимостей амплитуд и интенсивностей колебаний от частоты для разных грузов. Обратите внимание на связь между размерами и массой грузов и формой резонансных кривых.

6. Определите по графикам собственные частоты, коэффициенты затухания. Рассчитайте по формулам (7) и (8) декременты затухания и добротности исследованных маятников.

7. Взвесьте грузики и определите коэффициент жесткости пружины и коэффициент силы трения из формул (17).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К РАБОТЕ

1. Опишите явление резонанса.

2. *Решите задачу и сопоставьте ее результат с изложенным во введении к работе. Шарик массы m , подвешенный к невесомой пружинке, может совершать вертикальные колебания с коэффициентом затухания  и собственной частотой ₀. Под действием внешней вертикальной силы, меняющейся по закону F  F₀sint, шарик совершает установившиеся гармонические колебания. Найти: a) среднюю за период колебаний мощность силы F; б) частоту вынуждающей силы, при которой эта мощность максимальна; в) чему равна эта максимальная мощность. Обратите внимание на корреляцию зависимостей средней мощности и сдвига фаз между приложенной силой и колебанием маятника от частоты.

3. Опишите способ измерения собственной частоты и коэффициента затухания резонансным методом.

4. *Как видно из рисунка 7, от коэффициента затухания  зависит и положения максимума резонансной кривой и величина максимума. В принципе, используя формулу (13) можно выразить  через эти параметры резонансных кривых. Сопоставьте этот метод оценки  с тем, который был описан во введении к работе (по ширине резонансной линии).

5. Опишите экспериментальную установку, используемую в работе.

6. Влияет ли порядок измерения частоты и амплитуды в п.4 работы.

7. Объясните полученные экспериментальные результаты.