Раздел n 5. Механические колебания

Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной периодичностью во времени.

Это определение объединяет множество непохожих на первый взгляд процессов: колебания различных маятников, смену времен года, колебания численности популяций животных, колебательные химические реакции и т.д.

Природа колебаний обусловлена свойствами систем (физическими, химическими, биологическими и т.д.) и условиями, в которых они находятся. Характеристики колебаний связаны с параметрами, определяющими состояние систем, а значит, исследуя колебания, можно делать выводы о строении и свойствах самых различных систем. Именно на этой идее основано множество мощных методов исследования веществ: акустическая спектроскопия, оптическая спектроскопия, открытый в Казанском университете электронный парамагнитный резонанс (ЭПР), ядерный магнитный резонанс (ЯМР) и др. Эти методы на основе анализа свойств регистрируемых колебаний позволяют изучать исследуемые системы. Например, с помощью метода ЯМР можно установить строение молекул и сделать определенные выводы об их окружении. На этом основан самый информативный и относительно безопасный метод медицинской диагностики  ЯМР-томография.

Несмотря на огромное разнообразие колебательных процессов в природе и технике для их описания существует единый подход. Предлагаемые в данном разделе лабораторные работы дают возможность ознакомиться с ним на основе экспериментального исследования различных колебательных процессов в механических системах.

Любая функция f, описывающая периодический процесс, должна удовлетворять соотношению (где t - время, а T - период функции f). В математике существует фундаментальная теорема Фурье, согласно которой любая периодическая¹ функция может быть представлена как сумма, вообще говоря, бесконечно большого числа гармонических (т.е. происходящих по закону синуса или косинуса) колебаний. Благодаря этой теореме, изучение сколь угодно сложных колебаний сводится к исследованию закономерностей гармонических колебаний².

Итак, гармоническим называется колебание происходящее по закону синуса или косинуса, т.е.

, (1)

где, по определению, x₀  амплитуда, (₀t+  фаза, ₀ - циклическая частота,  - начальная фаза колебаний. При этом циклическая частота ₀ связана с частотой ₀ и периодом T₀ колебаний следующими соотношениями:

. (2)

Легко убедиться непосредственной подстановкой, что функция (1) удовлетворяет уравнению

, (3)

где точкой сверху обозначается производная по времени. Уравнение (3) называют уравнением гармонического осциллятора, а гармоническим осциллятором - модель колебательной системы, описываемую уравнением (3). Гармонический осциллятор характеризуется единственным параметром - циклической частотой колебаний ₀.

Модель осциллятора с затуханием, описываемая уравнением:

(4)

является более хорошим приближением к действительности. Уравнению (4) (убедитесь непосредственной подстановкой) при   ₀ удовлетворяют функции вида :

, (5)

где  циклическая частота затухающих колебаний,   коэффициент затухания, ₀  циклическая частота собственных (т.е. незатухающих) колебаний. Это уравнение описывает не периодический процесс, но при ₀ можно считать, что это уравнение описывает гармоническое колебание с изменяющейся амплитудой .

Для наглядности на рис. 1 показаны графики функций (1) и (5).

Модель осциллятора с затуханием учитывает, что после начального возмущения система стремится восстановить равновесное состояние, в котором колебания отсутствуют.

Осциллятор с затуханием характеризуется двумя параметрами: , определяющим уменьшение со временем амплитуды колебаний, и ₀ - частотой колебаний в отсутствие затухания.

Рис. 1 Графики функций

(штрих-пунктирная линия), (пунктирная линия).

при и (сплошная линия),

Из сказанного следуют цели предлагаемых работ по исследованию механических колебаний:

1. Убедиться, что модель осциллятора с затуханием применима к ряду механических систем;

2. Выяснить какие характеристики систем определяют частоту собственных колебаний и коэффициент затухания;

3. Освоить методы измерения параметров осциллятора с затуханием.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К РАЗДЕЛУ

1. Что называется колебаниями? Какими параметрами характеризуются гармонические колебания?

2. Расскажите о кинематике колебаний. Обратите внимание на связи координаты со скоростью и ускорением.

3. Расскажите о моделях гармонического осциллятора и осциллятора с затуханием.

4. Покажите, что при некоторых условиях массивное тело, подвешенное на нити, удовлетворяет уравнению гармонического осциллятора (математический маятник). Чем в данном случае определяется частота собственных колебаний, и коэффициент затухания?

5. Маятник Фуко, с помощью которого было доказано суточное вращение Земли, представлял собой металлический шар массой 28 кг, подвешенный на проволоке длиной 67 м. Объясните подобный выбор параметров.

6. Покажите, что при некоторых условиях массивное тело, подвешенное на пружине, удовлетворяет уравнению гармонического осциллятора (пружинный маятник). Чем в данном случае определяется частота собственных колебаний и коэффициент затухания? Какое влияние на них оказывает сила тяжести?

7. * Рассмотрите способ описания колебаний с помощью комплексных чисел.