- •1. Комплексные числа (кч)
- •Комплексная плоскость.
- •Введение в математический анализ.
- •Счетное множество – это множество, элементы которого можно посчитать.
- •Кванторы
- •Функции делятся на 2 класса
- •Элементарные неэлементарные
- •П римеры:
- •Используем бином Ньютона для доказательства неравенства:
- •Тогда .
- •Пусть функция определенна в окрестности точки .
- •Производная параметрически заданной функции.
- •Теорема Рояля, теорема о корнях производных.
- •Пусть и гладкие в окрестности и
- •Треугольник Паскаля.
- •Монотонность.
- •Если в критической точке 2-ая производная больше нуля, то это точка минимума, а если в критической точке 2-ая производная меньше нуля, то это точка максимума.
- •Асимптоты
Монотонность.
Функция называется возрастающей если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, а меньшему соответствует меньше.
Функция называется убывающей если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, а меньшему соответствует большее.
Теорема. У возрастающей функции производная больше 0 ().
Доказательство:
x |
-1 |
||
y |
|
min |
|
|
– |
0 |
+ |
Экстремумы функции.
Т очка -называется точкой max, если существует некоторая окрестность точки, что для любой точки x из этой окрестности .
Точка -называется точкой min, если существует некоторая окрестность точки, что для любой точки x из этой окрестности .
Необходимый признак экстремума, если -точка экстремума.
Если и , то это точка экстремума.
Если - точка экстремума и существует , то производная =0.
Точка, в которой производная, равна нулю, называется критической точкой.
, теорема Логранжа.
Первый достаточный признак экстремума.
Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с ”+” на “-“,то в этой точке максимум.
Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с ”-” на “+“,то в этой точке минимум.
Второй достаточный признак экстремума.
Если в критической точке 2-ая производная больше нуля, то это точка минимума, а если в критической точке 2-ая производная меньше нуля, то это точка максимума.
Пример:
x |
1 |
|
3 |
|
||
y |
|
Max |
|
Min |
|
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
Выпуклость и вогнутость.
Если в окрестности точки, график функции ниже касательной, то в окрестности этой точки график функции выпуклый.
Если в окрестности точки, график функции выше касательной, то в окрестности этой точки график функции вогнутый.
Теорема. В точке выпуклости 2-ая производная меньше 0. В точке вогнутости вторая производная больше 0.
Доказательство:
Если прямая проходит через точку
Применим теорему Логранжа:
Поставим “-“ в , учитывая, что >0
тогда должна быть <0.
Второй раз применим теорему Логранжа:
Для вогнутости поставим “+”
должно быть >0.
Точка, в которой вторая производная равна нулю, называется точкой перегиба.
|
|
|
|
|
|
y |
|
п |
|
п |
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
Асимптоты.
Асимптотой к кривой называется прямая, к которой график функции неограниченно приближается.