1. Комплексные числа (кч)

Комплексным числом z называется выражение z = a+bi, где , i – мнимая единица. i ² = –1.

a – действительная часть КЧ или a = Re z.

b – мнимая часть КЧ или b = Im z.

0+bi = bi - чисто мнимое число

a + 0i = a - действительное число

0 + 1i = i	1 + 0i = 1	0 + 0i = 0
мнимая единица	обычная единица	обычный нуль

Z₁ = a₁ + b₁i

Z₂ = a₂ + b₂i

Действия над КЧ.

Z₁ Z₂ = (a₁ a₂) + (b₁ b₂)i – сложение/вычитание КЧ.

Возведение в степень мнимой единицы:

i¹ = i i² = – 1 i³ = i i⁴ = 1

Z₁ Z₂ = (a₁ + b₁i)(a₂ + b₂i) = a₁a₂ + a₁b₂i + a₂b₁i + b₁b₂i² =

= (a₁a₂ – b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i – произведение КЧ.

Сопряженным числом () для данного комплексного числа называется число, которое отличается только знаком мнимой части от данного числа.

Пример:

– деление КЧ.

Пример:

Комплексная плоскость.

Z = a + bi – алгебраическая форма записи КЧ.

Модуль КЧ.

Аргумент КЧ.

Аргумент КЧ – .

Полярная систем а координат

Д екартова система. Полярная система.

– полярный радиус, – полярный угол, – полярные координаты.

Пример:

– тригонометрическая форма записи КЧ.

Примеры:

Формула Эйлера.

– Формула Эйлера

– взаимосвязь между e, i и

– показательная форма КЧ.

КЧ не сравнивают между собой. Множество КЧ не упорядоченно.

Возведение в степень КЧ.

При возведении в степень модуль возводиться в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула Муавра.

Возведение во 2 – ю и 3 – ю степень по формуле Муавра:

Используя равенство КЧ, получим:

Извлечение корня из КЧ.

k = 0, 1…,n – 1.

Корень n – ой степени из КЧ имеет n различных значений.

Примеры:

1. 

Все корни n-ой степени из единицы находятся на единичной окружности и делят эту окружность на n равных частей.

Введение в математический анализ.

N – натуральные числа, Q – рациональные(дробные), Z – целые числа

R – все действительные

M(N) = A⁰, где M – множество, A⁰ – алеф нуль.

Счетное множество – это множество, элементы которого можно посчитать.

– счетные и имеют одинаковую мощность

R – несчетное

М ножество действительных чисел всюду плотны на всей числовой оси.

[a, b] – замкнутый

(a, b) – открытый

Окр [x₀] – окрестность точки x₀ , любой открытый промежуток, содержащий x₀.

Окр [x₀] = (a, b), где (a, b) содержит x₀ – это окрестность.

ax₀ = x₀b, – окрестность x₀

Кванторы

1) – кванты всеобщности;

2) – кванты существования.

|x – x₀| – расстояние от точки x до точки x₀

Рисунок.

Числовой функцией (f) называется соответствие между числовыми множествами XY, при котором каждому значению x соответствует (сопоставимо) некоторое значение y.

y = f (x)

образ x прообраз y

У каждого прообраза всегда один образ, у каждого образа может быть много прообразов.

Взаимнооднозначная функция – это когда разные x имеют разные y.

Способы задания функций:

а) аналитический;

б) графический;

в) табличный;

г) алгоритмический.